1. Le français utilise un nombre significatif de locutions conjonctives comportant le mot temps :  au temps que, du temps que, depuis le temps que, en même temps que, etc.
Dans ces locutions, il est inutile de chercher la fonction de chaque mot. La tournure le temps que est une simple variante de aussi longtemps que ou tout le temps que. 
2. Quant à la forme « j’attendrai le temps qu’il arrive », elle me semble bancale bien que fréquente dans la langue courante. Elle compacte différents éléments mais on n’attend pas le temps. Il vaudrait mieux dire : 
– j’attendrai jusqu’à ce qu’il arrive. 
– j’attendrai le temps nécessaire pour (avant) qu’il arrive. (ici, le temps nécessaire n’est pas complément direct mais circonstanciel)

C’est vrai qu’il n’y a pas grand intérêt à isoler « que » dans cette expression
Néanmoins, en procédant à des substitutions,   on voit qu’il est très possible d’analyser ce « que » :
1J’attendrai le temps qu’il faudra/ que vous voudrez
2J’attendrai le nombre de jours qu’il faudra / que vous voudrez
3J’attendrai le temps dont vous aurez besoin
4J’attendrai le nombre de jours dont vous déciderez

4 : dont est pronom relatif COI du verbe décider
3  : même chose
2 : que est pronom relatif COD des verbes falloir ou vouloir
1 : que est pronom relatif COD du verbe falloir ou vouloir