Bonjour,

Accord fréquent avec le peu s’il domine dans la pensée. Le peu donne un manque, une insuffisance : Le peu de qualités qu’il a montré l‘a fait renvoyer (Acad. fr.). Le peu de dents que j’avais est parti (Voltaire). Sinon, accord avec le complément. Le peu signifie alors « quelques » : Le peu de leçons qu’il a prises lui ont suffi (Acad. fr.). Le peu de cheveux qu’il avait étaient gris (V. Hugo).

Maurice Grevisse, Le français correct, p. 335

Tout d’abord, il faut bien dire que votre phrase « Il a fallu que le peu de liens lui restant, ne disparaisse(nt) » n’a rigoureusement aucun sens, et je trouve admirable qu’on ait pu répondre à votre question consistant à l’orthographier. Par ailleurs, on n’accorde pas des verbes, mais on les conjugue.

Je pense que vous mélangez deux choses.

* D’une part, votre « il a fallu » et surtout la présence du mot « ne » avant le second verbe suggèrent que vous vouliez écrire une phrase du type :
— il s’en est fallu de peu que ces liens ne disparaissent
Le mot « ne » est possible dans cette phrase, par tradition, mais comme il ne représente pas une négation et n’a aucun sens, il est pratique de s’en débarrasser :
— il s’en est fallu de peu que ces liens disparaissent

* D’autre part, vous vous demandez si « le peu de liens » a un sens singulier ou pluriel.
Ce sont le sens de la phrase globalement et l’intention de l’auteur qui en décident :
— une quantité petite mais en insistant sur leur réalité : le peu de liens qui lui restaient disparurent lentement…
— une quantité trop petite, et c’est la trop faible quantité, le petit nombre, qui est le sujet de la phrase : le peu de liens qu’il avait a facilité son départ (ce n’est pas pas les liens, mais le fait que les liens soient peu nombreux, qui a facilité son départ)…
Dans votre phrase, quand vous l’aurez réécrite, c’est forcément le pluriel qui conviendra, car « peu de liens » peuvent disparaître, mais « le trop peu de lien » ne peut pas disparaître.

En démélangeant, on aura deux fois le mot « peu », dans une phrase malgré tout correcte :
— Il s’en est fallu de peu que le peu de liens qu’il conservait encore disparaisse
C’est à vous de la réécrire pour dire ce que vous souhaitez dire, au plus près de votre pensée, de préférence sans répétition d’un mot, mais la répétition est possible.
De façon générale, la langue, l’orthographe et la grammaire sont au service d’une expression fidèle à la pensée. Il ne devrait jamais être question d’écrire une phrase, puis de se demander si elle décrit une réalité au singulier ou au pluriel. Inversement, il faut, dans l’ordre, décider du nombre du sujet de la phrase, puis ensuite seulement l’écrire.