Bonjour,

Il n’y a pas à accorder, le sujet ne fait en effet pas l’action du verbe à l’infinitif et la place est le COD d’assigner pas celui  du verbe « se voir ».

Ils se sont vu assigner une place : on n’accorde pas le PP car le COD « se » (c’est le pronom réfléchi = ils ) ne fait pas l’action d’assigner.

Comparez avec :

Ils se sont vus refuser la place. Le COD « se » (toujours pronom réfléchi représentant « ils ») fait bien l’action de refuser.==> on accorde le participe.

Quand on dit « ils se sont vus » = ils ont vu eux-mêmes(verbe pronominal de sens réfléchi).Le pronom « se » est bien le COD du verbe voir.

Dans cette phrase  se voir est un auxiliaire* à sens passif.
La phrase a donc un sens passif :
ils s’étaient vu assigner une place : sens passif   => on leur avait assigné une place   : sens actif
« Ils » est sujet mais pas agent. Il est objet attributif. Il devient « leur », complément d’objet direct dans la phrase à sens actif.

La place qu’ils s’était vu assigner : le pronom relatif « que » est bien COD, mais COD du verbe « assigner », pas de son auxiliaire « se voir »
En tant qu’auxiliaire, le participe passé de « se voir » est invariable.*

Il existe en effet d’autres auxiliaire qu’être ou avoir
TLF :
Verbe auxiliaire. Verbe qui perdant tout ou partie de sa signification sert à former les temps composés des autres verbes (auxiliaire de temps), ou à exprimer diverses nuances du verbe qu’ils introduisent (auxiliaire de mode ou d’aspect) :

*Exemple d’invariabilité des participes passés des auxiliaires et semi-auxiliaires :
– Ces personnes, que j’ai eu rencontrées,  ont depuis longtemps déménagé.
– La voiture que j’ai fait réparer est dans le garage.
– Voici l’histoire que j’ai été étonné d’apprendre .