Bonjour ineskerkeny.

Les deux sont possibles.
Tout dépend de l’importance que vous accordez à la proportion (la moitié) ou à l’ensemble exprimé par le complément (les Français).

« La moitié des Français qui achète en ligne passe par Google pour ses achats. »
« La moitié des Français qui achètent en ligne passent par Google pour leurs achats. »

Mais on peut aussi faire la distinction pour les deux actions exprimées par les verbes :

« La moitié des Français qui achètent en ligne passe par Google pour le choix du site. »

Cette dernière a ma préférence, car on insiste sur le fait qu’on parle bien des Français, spécifiquement, et de leurs achats en ligne et ensuite on insiste sur la proportion qui utilise Google.

(Français prend une majuscule puisqu’on parle des habitants de la France.
Il me semble inutile de répéter les achats, mais on peut préciser la raison du choix d’un moteur de recherche. )

Bonjour,

Quand le sujet est « la moitié » (+ complément), on a le choix d’accorder le verbe soit avec « la moitié » soit avec le complément, selon  l’importance que l’on accorde à l’un ou à l’autre :
La moitié des députés a voté pour le projet . On insiste sur la proportion des votants.
La moitié des pommes seront vendues. On met l’accent sur les fruits vendus. Vous pouvez consulter ce site en ce qui concerne l’accord de verbe quand le sujet est une fraction ou un pourcentage.

Même si l’accord du verbe  semble juste dans vos deux propositions,  comme la relative complète plutôt le nom Français, j’écrirais le verbe acheter au pluriel.  D’ailleurs, vous n’hésitez pas sur l’accord de « passent ». Et n’oubliez pas que Français s’écrit avec une capitale, dès lors qu’il s’agit de personnes (un Français, mais le français pour la langue). 

« Leur » est ici adjectif possessif et s’accorde avec le nom qu’il détermine. Il s’accorde donc avec « achats » et s’écrit  au pluriel.

« La moitié des Français qui achètent en ligne passent par Google pour leurs achats. »

Merci !