Les deux peuvent être des pronoms interrogatifs (ainsi que des pronoms relatifs) :

Dans l’expression orale, quoi s’emploie couramment à la place de que, comme complément d’un infinitif ou après un verbe à un mode personnel : il ne sait quoi faire ; quoi répondre ? ; tu en penses quoi ?
MAIS 
Dans l’expression soignée, en particulier à l’écrit, préférer que : il ne sait que faire ; que répondre ? ; qu’en penses-tu ?

Quoi est également fréquent dans les interrogations sans verbe : quoi de neuf, aujourd’hui ?

Bonjour/Bonsoir,

Lorsque nous disons « que », nous faisons l’inversion COD/sujet et quand il n’y a pas d’inversion, nous disons « quoi », le sens est le même en soi, c’est l’usage et la construction qui font la différence.

La différence est même grammaticale. « Que » est atone et « quoi » est tonique.
On a la même différence entre « te » et « toi », « me » et « moi », « le » et « lui », etc.
Il m‘appelle —> c’est moi qu’il appelle
Il le porte —> c’est lui qu’il porte
Ou encore : il dessine les enfants, le ciel, moi…
Il sait ce qu’il veut —> il veut cela et il le sait.

Le pronom atone se place avant le verbe, le pronom tonique, après le verbe

+ « Que est plus littéraire que quoi » (Le Bon usage actuel).