Il suffit de changer de personne de façon à éviter l’homophonie entre futur et conditionnel.
Diriez-vous :
Il vous demandera  ou il vous demanderait donc de bien vouloir prendre en compte sa demande ?
Nous vous demanderons ou nous vous demanderions ?

Il me semble que nous choisirions le futur.
Le conditionnel est donc inadapté et ne sert pas à atténuer la demande par politesse. C’est tout simplement une erreur que de l’employer ici.
Si on veut atténuer la demande, il faut choisir d’autres moyens :
Je me permettrai de vous demander de bien vouloir…
Pouvez-vous avoir l’obligeance de bien vouloir…
Etc.

Vous avez raison, le conditionnel est l’équivalent d’une demande polie, comme une formule de politesse. Il est très adapté. Le futur ne l’est pas ici.
Pour être un peu plus affirmé : je vous demande.

Ajout : 
Le « conditionnel de politesse » s’emploie fréquemment avec les verbes :avoir, désirer, être, pouvoir, préférer, souhaiter, vouloir.
Il permet d’atténuer la force d’une demande de service ou l’expression d’une volonté.
Certains verbes sont fréquents : avoir, désirer, être, pouvoir, préférer, souhaiter, vouloir

Bonjour,
Dans le contexte de cet exemple, ni le futur simple de l’indicatif, ni le présent du  conditionnel présent ne conviennent.

L’emploi de l’indicatif marquerait l’exigence (ou du moins une forte assertivité) incompatible avec la formule d’atténuation qui suit (bien vouloir) ; celui du futur annoncerait un délai à exécution  (après certaines conditions ou après un certain délai, il faudra prendre en compte ma demande). Autant alors formuler au présent et changer de verbe si vous voulez atténuer l’expression de votre requête : Je vous remercie / prie de bien vouloir prendre en compte ma demande.

L’emploi du conditionnel présent peut exprimer la politesse mais celle-ci est contredite par le sens du verbe lui-même (demander) qui marque l’affirmation, voire l’ordre. Par ailleurs, vous répétez le terme demande en fin de phrase, ce qui souligne maladroitement et involontairement une position d’exigence.

Sur le plan purement grammatical, j’aurais pu vous dire que les deux temps conviennent mais il me semble ici que vous cherchez plutôt  la bonne manière de faire passer le message avec politesse, voire avec délicatesse.

Posez-vous alors d’abord la question  : voulez-vous faire valoir un droit ou aimeriez-vous qu’on vous rende service ?

Dans le premier cas, n’ayez pas peur d’être affirmatif sans pour autant commander le destinataire, par exemple : Je vous remercie d’avance de l’attention que vous porterez à ma demande. Je vous remercie d’avance de la prise en compte de ma demande. etc.

Dans le second cas, il faut que le destinataire se sente libre et honoré de vous rendre service : Je vous serais très reconnaissant si vous pouviez donner une suite favorable à ma demande.  Je vous saurais gré de prendre en compte ma demande.  etc.

Il y a bien sûr de nombreuses formulations possibles en fonction des nuances que vous voulez apporter  et mes conseils reflètent d’abord ce que j’essaye moi-même d’appliquer mais évitez  de mettre des indicateurs contradictoires dans une même phrase : demande (x2), donc (= exigence) et conditionnel, bien vouloir (=sollicitation)

La question est intéressante et plus délicate qu’il n’y parait à première vue.
D’un côté le « conditionnel de politesse » ne saurait s’appliquer à un verbe (demander) qui n’est pas un simple souhait mais une requête expresse (demander  a un sens fort, comme exiger).
D’un autre côté, le futur ne se justifie pas puisque la demande semble immédiate.
La difficulté provient sans doute d’un usage abusif de ce verbe qui aboutit à un hybride malencontreux entre souhaiter (maintenant) et requérir , comme dans ce travail demandera de la patience.
In fine, la formule est donc à éviter dans le sens de l’exemple présenté : soit on demande tout de suite et ponctuellement quelque chose, soit on demandera à l’avenir l’exécution en continu d’une autre chose (on demande plus d’attention, de l’assiduité, etc.). C’est le mélange des deux qui crée le problème.