Les deux se disent et les deux sont corrects :

Wikipédia utilise :
Le Handball frison est un sport de balle joué avec la main
Le handball est un sport collectif joué à la main
Le jeu de paume est un sport, pratiqué depuis plusieurs millénaires ⁱnitialement joué à main nue
et ailleurs ;
A mora, jeu corse se jouant avec les mains
Le jeu des planètes est un jeu collectif se jouant à la main.

à peut être synonyme de avec (voir le TLF)

wiktionnaire :
« à la main » définition

1. Avec la main.
   • […] n’avait-il point remarqué une superbe truite qui se calait sous un rocher de la rive. […] La question se posait seulement de savoir s’il la prendrait au filet ou à la main. — (Louis Pergaud, L’Évasion de Kinkin, dans Les Rustiques, nouvelles villageoises, 1921)

C’est justement cet emploi qui est à l’origine de l’emploi figé « à la main » pour dire « artisanalement ». Cette expression figée vient donc précisément confirmer le sens de « avec », « au moyen de » que peut prendre cette préposition hautement polysémique.
—
b) À introduit un complément  de moyen, de manière, de matière…,  (Linternaute)
—
Voici quelques exemples (Reverso) qui montrent, s’il était besoin,  à quel point l’emploi de « à la main » équivalent de « avec la main » est courant :
Mettre des gants lorsqu’on enlève des décombres à la main.
Ces compositions détergentes conviennent pour être utilisées en particulier dans le lavage à la main.
Si vous remplissez le formulaire à la main, veuillez écrire lisiblement.

—-
Je maintiens donc  : on peut dire qu’un sport se joue « à la main » ou « avec la main ».

J’ai découvert récemment que certaines plateformes, comme Betwinner, offrent ce genre d’options. Pour ceux qui sont en Côte d’Ivoire, il y a des informations complètes sur betwinner-de-cote-divoire.com. Ce site explique comment s’inscrire, les offres de bonus disponibles, et même comment télécharger l’APK pour Android ou utiliser Betwinner sur iPhone. Ce qui est intéressant avec Betwinner, c’est leur interface claire et leurs mises à jour rapides pendant les matchs. Cela permet de prendre des décisions éclairées, surtout si vous suivez les événements en direct. Cependant, avant de commencer, il est important de bien comprendre les règles et de fixer des limites pour éviter les excès.

Bonsoir,

Certains sports se jouent avec la main (volley-ball, jeu de paume, etc.).
Un sport qui se jouerait à la main serait celui qui se jouerait artisanalement, sans machine…