Les tirets (cadratins en général) de dialogue marquent le changement d’interlocuteur (dès le deuxième). Les guillemets isolent, eux, le fait qu’on entre (puis sort) dans du dialogue direct. Lorsqu’un seul personnage s’exprime, comme dans votre exemple, les tirets n’ont en théorie* pas lieu d’apparaitre puisqu’il n’y a pas de changement. Vous avez alors toute latitude de faire des sauts à la ligne à l’intérieur des guillemets.
* Je dis en théorie car les pratiques éditoriales modernes battent souvent en brèche ce principe classique. On voit de plus en plus de dialogues dans les ouvrages, truffés de coupures diverses hors dialogue. Le tiret est alors massivement substitué aux guillemets ouvrants pour marquer toute prise de parole, souvent du même personnage. Comme correcteur, il est fréquent que je doive m’y reprendre à plusieurs fois pour deviner qui parle…

Vous ne devez pas mettre chaque paragraphe entre guillemets, mais vous pouvez en principe mettre des paragraphes à l’intérieur d’une section entre guillemets.

[*] Deux exemples.
Si après un longue tirade il y avait une réponse introduite par un tiret, ce serait assez délicat, pour une raison de lisibilité, d’introduire des paragraphes dans la longue tirade.
« Voici, dit A, mon idée.
D’une part…
Et puis…
Enfin…
— Je comprends, répondit B.
— Merci. »
Par contre, il n’y a aucun problème à structurer un discours avec un unique orateur.
A s’exprima ainsi :
« Voici mon idée.
D’une part…
Et puis…
Enfin…
Merci pour votre attention. »
C’est-à-dire que si dans une situation de dialogue, il peut être gênant de marquer les paragraphes dans l’intervention d’un des protagonistes, en revanche, quand une personne est seule à s’exprimer entre guillemets, ça marche nickel. C’est bien le cas que vous avez exposé.

[*] Des paragraphes entre des guillemets.
À l’intérieur des guillemets, par exemple pour un long discours s’étendant sur plusieurs pages, il est également possible, et très pratique pour le lecteur, de commencer chaque paragraphe par un signe rappelant qu’on est encore dans la citation, comme un guillemet ouvrant, mais en ne le fermant qu’au dernier paragraphe.
Par exemple ici, Les Misérables, édition 1890.
C’est également une des propositions du guide du rédacteur sur le site canadien termiumplus.ca, au paragraphe 7.2.5

[*] Des interventions orales sans guillemets.
Puisque vous prenez la peine de préciser que vous n’utilisez pas de tiret pour marquer cette prise de parole, c’est probablement que vous marquez parfois une intervention orale par un simple tiret, sans guillemets. Pourquoi pas, c’est une bonne idée, et cela n’a rien de récent.
Par exemple ici, Les Misérables, édition 1890.

[*] Deux notions séparées.
On voit alors que les tirets et les guillemets peuvent marquer les interventions orales ou les citations, indépendemment les unes des autres.
La plupart des éditeurs récents l’ont très bien compris et reviennent aux règles classiques (les deux exemples de 1890 ci-dessus), qui dissocient les guillemets et les tirets, sans les hiérarchiser, sans considérer que le tiret marque un achangement d’interlocuteur à l’intérieur d’une citation guillemetée.
D’une part, des interventions orales isolées ou avec plusieurs interlocuteurs peuvent être marquées par un tiret en début de ligne, sans nécessité de guillemets.
D’autre part, des citations formelles, comme par exemple un discours cité textuellement, ou comme un dialogue introduit par « et voici ce qu’ils se dirent », sont encadrés de guillemets.
Ces deux conventions ne nécessitent pas d’être appliquées en même temps.