Au figuré « fixer » est synonyme de « choisir définitivement » : on peut donc dire  » fixer un délai »

TLF : Fixer son choix, sa préférence sur qqn/qqc : choisir définitivement et après réflexion. Définir, déterminer

Le Robert : décider, arrêter, conclure, se mettre d’accord sur : la limite à se fixer, c’est 2 % du prix de vente.

Dictionnaire de l’Académie : Arrêter, appliquer durablement : Fig. Fixer son choix, l’arrêter de façon ferme et définitive.
Il appartenait à chaque pays de fixer ses objectifs sociaux nationaux.

Bonjour,
On écrit fixer quelque chose à.
Mais il s’agit alors de donner une date déterminée, alors que vous proposez un délai qui correspond à une durée, terme qui n’est donc pas approprié.
On pourrait écrire : fixer la date butoir au 15 juin.

Comme un délai est un laps de temps, vous ne pouvez l’exprimer sous forme de date. Toutefois, je lis dans le CNRTL que « fixer » peut convenir.
Le délai est de quatre mois pour adresser sa candidature, il est fixé au 15 juin.
La date limite pour la réception des candidatures est le 15 juin / est fixée au 15 juin.