Son père ou sa mère viendront le chercher dès la fin des cours. 
Puisque le « ou » n’est pas exclusif (ce peut être les deux), vous mettrez le pluriel. On peut même se passer de « et ».
Voici ce que dit le Projet Voltaire :
Quand « ou » coordonne deux noms au singulier, le verbe se met au singulier ou au pluriel selon les cas :

– il se met au singulier si l’un des deux noms exclut l’autre.

> Le président de la République ou le Premier ministre présidera la réunion.

– il se met au pluriel si l’on peut dire « l’un et l’autre » ou « l’un comme l’autre ».

> La fatigue ou l’imprudence sont à l’origine de bien des accidents.

Si « ou » unit deux synonymes, le verbe se met bien sûr au singulier.

> Élisabeth I^re ou la Reine vierge a régné quarante-quatre ans.

Parlons de et/ou ! 

Dans l’expression moderne  bien commode et/ou, les deux conjonctions ne sont pas combinées, comme l’indique la barre oblique, qui les sépare. Chacune d’elles a sa fonction normale, mais, par économie, on réunit en une seule deux coordinations distinctes : il y a en même temps possibilité d’addition  (avec et) et de choix (avec ou).

Le seul fait que parmi les trois possibilités, il y ait une possib. d’addition suffit, à mon sens, à justifier le pluriel verbal (viendront).

Grevisse et Goosse emploient eux-mêmes assez souvent et/ou dans le Bon usage, et ce, toujours suivi du verbe au pluriel. 

Un ex. parmi d’autres  : C’est le contexte et/ou la situation qui permettent de voir qu’il y a entre les faits une relation temporelle.

Merci pour vos réponses, c’est beaucoup plus clair maintenant.
Bonne journée