La notion de déterminant doit être envisagée globalement, selon la présence d’un article déterminé, d’un démonstratif, d’un adjectif, d’un complément contextualisant, d’une relative déterminative…
En principe, en français, il faut des déterminants à tous les noms communs sujets d’une phrase.
Ce chat miaule.
Le chat miaule. (celui dont on parle)
Le chat miaule. (utilisation générique possible de l’article défini singulier pour désigner la totalité d’un groupe, tous les chats)
Un chat affamé miaule. (tous les chats affamés)
Un chat sur trois miaule.
Un chat qui a faim miaule.
On voit que si vous n’avez ni démonstratif, ni article défini, ni adjectif, ni autre complément déterminant, et que vous mettez une relative, il faudra bien que cette relative soit déterminative.
L’article « un » doit être complété pour déterminer une chose (ou une catégorie de choses)… sinon on a le mot, mais pas encore le sens. [A la limite, on a son existence : un chat miaule = il existe un chat qui miaule.]
Donc oui, pour répondre à la question du titre, si un nom avec un article indéfini a une relative pour tout complément, cette relative est (presque) forcément déterminative.
Un nom avec un article indéfini, mais avec un autre déterminant, peut éventuellement accepter une relative qui ne soit qu’explicative (un chat affamé, dont on ne s’occupe pas, miaule).
Avec un article défini ou autre déterminant, la relative ne nécessite pas d’être déterminative, le mot est potentiellement déjà déterminé (ce chat, qui est noir, complément explicatif, est…). Elle peut l’être si les autres déterminations sont insuffisantes (seuls les chats noirs qui vivent en Bourgogne miaulent).

Dans votre exemple, vous oubliez d’intégrer à votre raisonnement la présence de l’adjectif « malade ».
* « Dans un hôpital, [virgule], où on ne soigne plus, les médecins… » n’est pas possible. Il faut un déterminant, et seule la relative peut en tenir lieu.
* « Dans un hôpital malade, où on ne soigne plus, les médecins… » est par contre tout-à-fait acceptable. L’adjectif « malade » suffit à déterminer l’hôpital, du moins sa catégorie, et « où on ne soigne plus » n’est qu’un complément dispensable. Il vous appartient de décider si cette relative est essentielle. Moi qui ne connais pas l’histoire, j’admettrais facilement à la lecture que la relative ne soit qu’un complément précisant en quoi consiste la maladie de cet hôpital, ou quelle en est la conséquence. Si vous pensez qu’il manque du sens, qu’une deuxième détermination est nécessaire, alors optez pour la déterminative et l’absence de virgule, mais syntaxiquement, la virgule est possible grâce à l’adjectif qui tient lieu (associé à l’article indéfini) de déterminant.

Enfin, puisque [article indéfini « un » + « hôpital » + adjectif déterminant « malade »] pour désigner un hôpital déjà bien identifié peut rester étonnant quand un simple « cet hôpital » aurait suffi en tenant compte des phrases précédentes, je propose cette explication.
* Cette situation est périlleuse (situation est déterminé par un démonstratif).
* Dans cette situation, il faut fuir. (idem)
* Dans une telle situation, il faut fuir. (situation est déterminé par un article indéfini et un adjectif déterminant, ensemble). On utilise ici l’article indéfini et l’adjectif déterminant ensemble pour montrer par quel biais la situation est déterminée. Elle pourrait être déterminée par un autre critère cité précédemment. En remplaçant « cette » par « une telle », non seulement nous parlons de la même, mais nous rappelons en même temps pourquoi.
« Cet (déterminant) hôpital, qui est malade (explicatif) » est utilement remplacé par « Un (article indéfini) hôpital malade (déterminant avec adjonction de sens explicatif) ».

Votre exemple abordait bien tout cela, et nous arrivons aux mêmes conclusions, je vous ai simplement proposé d’inscrire vos conclusions dans le cadre de règles de grammaire identifiées.

Bonjour, David91.

C’est un bon rappel que voilà  sur les différentes façons de rendre un sujet déterminant et ça paraît logique. Je vois la nuance donnée par l’adjectif « malade » ou son absence quand j’utilise un article indéterminé devant mon nom « hôpital ».

J’avais justement utilisé « cet hôpital » au préalable, mais je précise que je suis limité à 140 caractères dans une micro-critique (142 avec cet). De plus, j’utilise les démonstratifs dans le contexte, mais il n’y a pas de phrases précédentes. L’Académie française a d’ailleurs fait évoluer dans sa 9e édition la définition de ces démonstratifs : 1. Sert à désigner la personne, la chose, la notion dont il est question, ou la réalité présente.

Pour cette critique, je pense retenir la version suivante :
– Dans l’hôpital malade, où l’on ne sait plus soigner, les médecins font la sourde oreille aux maux de leurs patients, mais la révolte gronde.
Là, je suis certain que ma phrase est correcte et je la trouve bien ponctuée.

P.S. : J’ai justement un gros doute passager dans ma façon de choisir les articles déterminés ou indéterminés, les adjectifs démonstratifs. Si vous avez le temps de voir ce sujet (https://www.question-orthographe.fr/question/comment-evoquer-des-personnages-des-choses-ou-des-situations-dans-une-critique-de-film-articles-determines-ou-indetermines-adjectifs-demonstratifs/), alors n’hésitez pas à répondre, car je suis persuadé que la réponse sera très pertinente et elle m’aiderait beaucoup  à rectifier le tir si besoin.

Merci pour cette réponse.