Le sens des deux termes est très proche.
Définition du TLFi :
Persévérer : continuer, avec fermeté et obstination, à être dans telle disposition, à vouloir accomplir tel projet ou à penser de telle façon. Rester de façon durable, continuer d’exister; subsister.
Persister : mettre en œuvre sa volonté, user de patience pour poursuivre une action malgré les difficultés, pour rester ferme dans une résolution, une opinion, une attitude.

Cependant comme tous synonymes, ils offrent des nuances de sens.
« Persévérer » porte l’idée d’un objectif à atteindre, d’accomplissement total d’une action, je dirais presque une idée de progrès. [il ]sait que les bourrasques passent, qu’il ne faut pas s’obstiner, mais persévérer; il recule; il a la force d’attendre le jour que ses chances soient les plus grandes. Valéry
« Persister » est plus statique. Il persiste dans son erreur malgré toutes les remarques.

Dans ces deux exemples l’un ne peut remplacer l’autre.
Mais il est des cas où la substitution de l’un par l’autre est possible.

Bonsoir David,

Les deux verbes comportent l’idée de continuer.

Mais persévérer, c’est continuer sans vouloir changer ; ce verbe emporte l’idée

dans telle ou telle ligne de conduite. On persévère par réflexion. Persévérer dans l’effort.

Persister, c’est continuer surtout  en parlant de quelque chose qui devrait normalement cesser, et ce, avec de la fermeté, de l’énergie. On persiste à,affirmer ce que d’autres nient. On persiste dans un refus.  On persiste en dépit des résistances rencontrées. Malgré les preuves accumulées, le suspect persiste à nier.

Dict. de l’Ac. fr., s.v. Persévérer :
« On emploie plutôt Persévérer pour marquer la constance et la patience dans l’effort, et Persister pour souligner la fermeté, l’énergie dans la résolution. »

Sources : Dict. Larousse des Synonymes, Dict. de l’Ac. fr.

Merci beaucoup Prince et Tara pour vos réponses !

persister dans ses dénégations
persévérer dans ses études