Pourquoi ne pas choisir simplement le terme « cause », qui est simple et précis dans le cas que vous citez.
Le Robert, le TLF ne donnent pas le sens de cause à ce mot (même s’il est signalé que le verbe peut avoir cette acception dans des cas précis)
L’Académie : détermination : Le fait d’être la cause ou la condition de l’existence d’un phénomène.
Un crime n’est pas un phénomène
=>Ils sont à la recherche des causes/des raisons de ce crime.
Le mot « mobile » est peut-être restrictif.

Non, détermination avec le sens de cause ne se trouve pas dans le grand Larousse illustré.

Oui, raison pourrait convenir.