Je dirais aussi que « dont » crée un pléonasme avec de :  Je me soigne de la même façon que je me suis soigné.
on peut faire plus léger :
Je me soigne comme (je me suis soigné) précédemment.

Vos craintes sont justifiées : le pronom relatif dont contient en effet la préposition de et ne doit pas s’y ajouter.
« Je me soigne de la même façon que je me suis soigné précédemment, avec des antibiotiques. »

Il n’y a pas de pléonasme ici pour cause de « dont » et de « de ».
S’il y a un « de » dans deux propositions indépendantes, il est normal d’avoir « de » dans la principale et une relative introduite par « dont ».
— Tu parles d’une personne.
— Tu m’as parlé hier de cette personne.
— Tu parles encore de la personne dont tu m’as parlé hier.
La personne en question est réellement un élément commun aux deux propositions, ce qui justifie la relative.
Dans la construction avec « la même que », il y a une comparaison de deux éléments (certes identiques), et le mot « que » est une conjonction, qui en aucun cas ne remplace le pronom relatif « dont » :
— Tu parles de la même personne qu’hier. Tu parles de la même personne que celle dont tu parlais hier…
On rencontre des cas où « même » n’est pas mis pour comparer mais pour affirmer le caractère identique (c’est bien la même personne). Ce « même » est un peu pléonastique, mais on le rencontre souvent en littérature. Comme il ne s’agit pas d’un pléonasme syntaxique, il est très acceptable. Avec ce sens, quand l’adjectif « même » est une simple épithète supprimable, cette construction est correcte (mais pas moderne) :
— Tu parles de la même personne dont tu m’as parlé hier.
Un exemple par Victor Hugo : La révolution avait effacé les fleurs de lys de l’écusson de France ; lui aussi, il les avait effacées, mais du blason d’Angleterre : trouvant ainsi moyen de leur faire honneur de la même manière dont on leur avait fait affront.

Votre première phrase.
— Je me soigne d’une certaine façon.
— Je me suis soigné de cette façon hier.
— Je me soigne de la façon dont je me suis soigné hier.
Autour du mot « façon », qui est l’élément commun justifiant la relative, il y a un « de » pour le verbe soigner de la principale, et un « dont » pour le verbe soigner de la relative.
Il n’est pas totalement interdit, juste un peu pléonastique, d’ajouter un « même » :
— Je me soigne de la même façon dont me suis soigné hier.
Donc votre première phrase est correcte.

Votre deuxième phrase.
La construction avec « de la même façon que » est également correcte. Et elle ne contient pas de relative. Il ne faut en aucun cas croire que le mot « que » soit mis pour remplacer un pronom relatif « dont » qui serait pléonastique. Il s’agit là d’une conjonction. Ça n’a rien à voir avec une relative, on a ici une comparaison. Il y a je pense une assez grande liberté pour terminer la phrase.
— Je me soigne de la même façon que tout le monde.
— Je me soigne à Paris de la même façon qu’à Londres.
— Je me soigne de la même façon que mon voisin soigne ses vaches.
— Je me soigne aujourd’hui de la même façon que je me soignais hier.

Merci ! La perspicacité de ces éclairages m’est très utile. Maintenant, je sais . « De la façon dont » n’existe pas !

Merci. La densité de votre réponse finit de m’éclairer, avec précision, nuance et rigueur.