Les deux constructions sont possibles.
Il continue à s’occuper de sa famille / il continue de s’occuper de sa famille

Pour votre information :
D’après l’Académie, on doit se servir de continuer à quand il s’agit d’une action commencée et que l’on continue, et de continuer de quand il s’agit d’une action qu’on a l’habitude de faire. Cet homme, tenant son verre, continue à boire ; c’est-à-dire il achève ce qu’il avait commencé ; mais cet homme est un ivrogne, et, malgré ses promesses, il continue de boire, c’est-à-dire il persiste dans ses habitudes d’ivrognerie. Mais cette distinction, qui n’est pas fondée sur le sens des prépositions à ou de, ne l’est pas non plus sur les exemples des auteurs qui usent, ou indifféremment ou suivant l’oreille, des deux prépositions. Laveaux voulait que à indiquât une intention dirigée vers un but, et qu’on se servît de la préposition de quand rien n’indiquait un but, une intention ; cette distinction, fondée sur la conception abstraite des rapports exprimés ordinairement par à et de, n’est pas appuyée par l’usage.

Cette question a été traitée ici à plusieurs reprises.

Selon M. Grevisse, « continuer construit l’infinitif complément avec à ou de indifféremment ».

Irène M. Kalinowska (La préposition, 6e éd., De Boeck/Duculot) ne fait pas non plus de distinction de sens.

Le Bon usage électronique actuel : parle de libre choix.

Dans son dictionnaire, à l’article Continuer, l’Académie ne fait pas non plus de distinction sémantique :

« Continuer à ou, litt., continuer de, suivi de l’infinitif, persister à, ne pas cesser de. Il faut continuer à travailler. La pluie continuait de tomber. Le mal continuait de se répandre. »

La BDL écrit :

‘Dans le sens de « poursuivre ce qui a été commencé », continuer peut aussi être transitif indirect, suivi des prépositions à ou de et d’un verbe à l’infinitif. L’emploi de ces deux prépositions est correct; les grammairiens notaient autrefois une nuance de sens entre elles, mais aujourd’hui seule l’euphonie peut motiver l’emploi de l’une ou de l’autre selon le verbe qui la suit. On emploie préférablement continuer de pour éviter la rencontre de deux voyelles (continuer à abîmer) ou continuer à pour éviter le redoublement de la syllabe de (continuer de devancer).

Exemples :

– Lucie a continué à faire de l’exercice jusqu’à la fin de sa grossesse. (ou : Lucie a continué de faire de l’exercice)

– Il a continué à pleuvoir toute la nuit. (ou : Il a continué de pleuvoir)

– Elle continue d’aimer cet homme après tant d’années. (plutôt que : Elle continue à aimer)

– La Ville continuera à demander l’aide financière du gouvernement pour ce projet qui lui tient tant à cœur. (plutôt que : La Ville continuera de demander). »

Tara, je suis intéressé par les références de l’avis de l’Académie dont vous faites état.