En découvrant leur union, le père avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée/aurait été déshéritée sur-le-champ.
Attention : deux notions s’enchevêtrent :
1 S’il ne fait aucun doute que la sanction tombera on emploie le futur du passé (sa forme est celle du conditionnel présent) :
Le père somma/sommait/a  sommé/ avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée

2 Si au contraire on insiste sur le fait que  la sanction est soumise à condition, on emploie le conditionnel passé
Le père somma/sommait/a  sommé/ avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle aurait été déshéritée
(Remarque : un temps de la principale au passé)

Ces deux phrases donnent au système du présent :
1 Le père somme sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle sera déshéritée
2 Le père somme sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée

Merci, Tara. C’est très clair.