Bonjour,
Votre question manque un peu de contexte.
On peut écrire « tous » au pluriels se rapportant à un noms au pluriel ou à deux noms au singulier ou au pluriel.
Il faut écrire :
– {…} bien vouloir procéder à tous prélèvements et recherches jugés utiles
(Si vous choisissez cette tournure, mettez « prélèvements » avant « recherches » pour un souci de prononciation, sinon il faut écrire « toutes »
-{..} bien vouloir procéder à toutes recherches et à tous prélèvements jugés utiles
On peut aussi écrire :
– {…} bien vouloir procéder à tout prélèvement et à toute recherche jugés utiles
Dans cette tournure la phrase a le sens de « n’importe quel prélèvement et n’importe quelle tournure »
Notez toutefois l’accord des adjectifs au pluriel car il se rapporte aux deux noms.

‘Jugés utiles’.
‘Jugé’ n’est pas un adjectif, mais seulement un participe passé.
Pour garder ce participe passé qui n’a pas valeur d’adjectif, il faut un complément d’agent : les recherches jugées utiles par le directeur.
Sinon, vous devez conjuguer : les recherches que vous jugerez utiles.
ou vous contenter d’un adjectif : les recherches utiles. (sens absolu un peu étonnant)
Pour conserver le sens subjectif, je conseille : ‘les recherches que vous jugerez utiles’.

‘Toute’ ou ‘toutes les’ ?
‘Toute’ veut dire ‘toutes les… quelles qu’elle soient’ : Toute recherche = toutes les recherches quelles qu’elle soient.
Comme sujet, et sans adjectif, ça marche : Toute recherche demande du temps.
Comme complément, et avec une précision (que vous jugerez utiles), je ne vois pas l’intérêt, le ‘quelles qu’elles soient’ n’est plus nécessaire puisque vous qualifiez déjà ces recherches.
Je conseille : ‘toutes les recherches que vous jugerez utiles’.

Coordonner ‘recherches’ et ‘prélèvements’.
Avec un simple ‘et’ et la répétition des déterminants : ‘toutes les recherches et tous les prélèvements que vous jugerez utiles’.
Vous pouvez trouver lourd d’aligner ‘tous les…’ et ‘toutes les’, mais chaque mot mérite son déterminant. En essayant de mettre le déterminant en commun à ces deux mots, vous avez bien vu les limites de l’exercice, évident ici à cause d’un nom féminin et d’un nom masculin, mais même avec des mots de même genre, la règle générale est de donner un déterminant à chaque mot s’ils désignent des choses différentes.

Je conseille : Je vous remercie de bien vouloir procéder à toutes les recherches et tous les prélèvements que vous jugerez utiles.
Mais on voit que ‘tous les’ n’a pas trop de raison d’être, puisque vous précisez clairement : ‘les prélèvements utiles’. On peut supprimer.
Je vous demande de bien vouloir procéder aux recherches et aux prélèvements que vous jugerez utiles.

Si on avait écrit ‘je vous autorise’ au lieu de ‘je vous demande’, la nuance du ‘quel qu’il soit’ aurait eu du sens (quel qu’il soit parmi ceux que vous jugez utiles) : Je vous autorise à procéder à toute recherche et tout prélèvement que vous jugerez utiles.