D’un point de vue purement grammatical, on accorde le PP avec le COD s’il est placé avant avoir : ils ont fait quoi ? « Qu’  » qui renvoie à « avancées » féminin-pluriel.
Donc « les avancées qu’ils ont faites ».

Maintenant, on ne comprend pas très bien ce que signifie « faire une avancée« …
Voici la définition du nom « avancée » :
Ce qui forme saillie. L’avancée d’un toit, d’un balcon sur la façade. MARQUE DE DOMAINE :FORTIFICATIONS. Petit ouvrage placé en avant de la porte d’une place forte.

De plus, le verbe « faire » est dit verbe pauvre, car à force d’être utilisé à toutes les sauces, il ne veut plus dire grand chose.
Tout dépend du contexte : Les progrès qu’ils ont faits ?  Les  projets qu’ils ont réalisés ? Les avancées qu’ils ont construites sur la mer ?

Une avancée est aussi au figuré un progrès une progression une marche en avant
et notamment dans le domaine militaire :
Ils ont fait d’importantes avancées dans cette négociation. 
Je pointe aussi sur une carte d’état-major l’avancée des troupes alliées en Normandie et vers l’Allemagne
-wiktionnaire

Le verbe faire est alors requis d’autant que le verbe avancer a un autre sens Ils ont beaucoup avancé dans cette négociation ne marque pas l’aspect itératif présent dans « faire des avancées »

remarque sur le verbe « faire »
– Faire peut être verbe plein quand  il a le sens très général de  Donner l’être, l’existence à, être l’auteur de.
En ce cas il se comporte comme tous les verbes. Notamment, son participe passé répond à la règle du PP comme  ceux des autres verbes : cette tarte, c’est moi qui l’ai faite
– Faire peut être semi-auxiliaire. C’est à dire qu’il est « au service » d’un autre verbe. Il apporte un aspect factitif.
En ce cas seulement  le PP est invariable.
Colin n’aimait plus la couleur de sa chambre ; il l’a fait repeindre – Marthe s’est fait disputer .

==> les avancées qu’ils ont faites (le verbe est plein ici, il ne « sert » aucun autre verbe)

Bonjour,

Merci pour vos éclaircissements.

Je pensais qu’il s’agissait simplement du passé composé, soit « ils ont fait ». Le texte concerne le Téléthon et les « avancées » de la recherche qui ont été réalisées depuis sa création….

Cordialement,

S.