À l’origine, ce sont les questions qui sont « à choix multiple » (voir CNRTL I.A.4.). Chaque choix est multiple (au singulier) de la même manière qu’un objet est multicolore,  un animal omnivore, un ouvrier polyvalent ou, quelle chance, un trèfle quadrilobé.
C’est par une métonymie (un raccourci) récente que l’on parle de « questionnaire » à choix multiple, ce qui est courant mais un peu abusif puisqu’on ne choisit pas les questions mais les réponses prédéfinies aux questions.
Cela étant, au pluriel, on pourra utiliser grammaticalement le complément au singulier (des questionnaires à choix multiple) ou au pluriel (… à choix multiples). Comme souvent, en l’absence de différence de  sens, c’est le singulier qui est préférable car générique. Linguistiquement, le pluriel ne se marque que pour une réelle différence.

Un questionnaire qui comporte des choix multiples est un questionnaire à choix multiples (de multiples choix et non unique), Larousse définit ainsi l’adjectif « multiple » :
Qui n’est pas unique, qui se présente sous des aspects divers, nombreux ou existe en grand nombre, apparaît un grand nombre de fois : Produit à usages multiples.

Contrairement à un choix unique.

Donc comme cette partie me semble toujours au pluriel, la question ne se pose pas pour plusieurs questionnaires. C’est mon analyse, peut-être que d’autres auront une vison différente.

Bonjour Joelle, et merci pour cette réponse.

Si je comprends bien, il faut penser qu’un choix doit être fait à chaque question, ce qui entraîne plusieurs choix au total. D’où le pluriel. Cela semble logique.

Je constate que vous écrivez, au singulier, « questionnaire à choix multiples ». Je trouve cette formulation dans de nombreux documents. Cependant, le Robert et le Larousse en ligne donnent « questionnaire à choix multiple ».  C’est pour cela que je m’interrogeais sur la variabilité de « choix multiple ».

Je dois rendre mon document de travail rapidement, je vais donc suivre votre réponse et faire le choix du pluriel. Je reste néanmoins perplexe.

Bonsoir et merci à vous, Joelle et Chambaron ! J’y vois un peu plus clair.

Les différents sites linguistiques canadiens que je consulte régulièrement préfèrent également le singulier : « Question à choix multiple. Dans ce terme, le nom choix ainsi que l’adjectif multiple qui le qualifie sont plus fréquemment écrits au singulier, bien que l’emploi du pluriel soit lui aussi possible. »

J’utiliserai donc le singulier désormais.

Bonne soirée.