La réponse est plus délicate qu’il y parait car les deux (son ou leur) peuvent s’employer selon la construction de la phrase. Il en va de même avec toutes les tournures du même type (à sa guise, à sa manière, à sa place, etc.).
1. Deux remarques préliminaires :
– dans cette expression, le mot tour est toujours au singulier ;
– la préposition à est optionnelle, sans variation de sens (chacun son tour, chacun à son tour).
2. C’est la fonction du pronom chacun qui détermine le possessif à utiliser : 
– Si le nom associé au pronom chacun n’est pas exprimé , c’est le singulier qui prime : À chacun sa chance,  chacun fera à sa guise, chacun son métier et les vaches seront bien gardées, chacun passera à son tour.
– Si ce nom ou pronom, forcément pluriel, est exprimé,  c’est le pluriel qui prime : Ils n’en firent chacun qu’à leur tête, les adultes agissent chacun à leur guise, les soldats passèrent chacun à leur tour.
Pour une même idée, on peut donc trouver les deux :
– Chacun regagna sa place ;
– Les enfants regagnèrent chacun leur place.
Il ne s’agit pas là d’une règle académique formellement exprimée, mais d’un constat de l’usage sur un grand nombre de tournures et de citations. On trouve donc des contre-exemples. Autrement dit, c’est une méthode commode pour ne pas faire d’erreur grave même si des variantes sont parfois possibles.
Vous trouverez d’autres commentaires dans le TLF-CNRTL (point A.I.3. notamment).

Chacun son tour (chacun est du singulier, le déterminant est donc un singulier).

Contrairement à ce qu’on peut lire ici ou là, chacun est toujours suivi d’un singulier. C’est ce qu’on constate dans le TLF
Qu’il s’agisse d’un verbe  : chacun veut expliquer les apparences
D’un pronom réfléchi :  chacun pour soi! 
Ou d’un possessif : pronom : Chacun la sienne ou déterminant: chacun de son mieux les secourut. à chacun son dû!

On a donc :à chacun son tour
Leur, même au singulier se réfère toujours à un possesseur pluriel
Si l’objet est pluriel,il faut employer « ses » : à chacun ses idées