Bonsoir Sonia,
Dans votre phrase il y a deux erreurs. Il faut écrire :
– Cette mission, je me la suis vu confier
On n’accorde pas le participe passé « vu » car le COD ne fait pas l’action exprimée par l’infinitif. C’est-à-dire que ce n’est pas la mission qui confie, on la confie à vous.

Bonjour,

 I ─ Participe passé d’un verbe pronominal suivi d’un infinitif.

Le participe passé de ce verbe s’accorde comme le participe passé du verbe simple.

Règle d’accord du participe passé suivi d’un infinitif.

► L’accord a lieu si le complément d’objet direct, placé avant le participe, fait l’action exprimée par l’infinitif.

Exemples :
La femme que j’ai entendue chanter; c’est la femme qui fait l’action de chanter.
Les fruits que j’ai vus mûrir; ce sont les fruits qui font l’action de mûrir.

► Dans le cas contraire le participe passé reste invariable.

Exemples :
Les chansons que j’ai entendu chanter.
le fruits que j’ai vu cueillir.

II ─Se voir sert d’auxiliaire du passif, soit avec le participe passé, soit avec l’infinitif.

• Se voir est suivi de l’infinitif si l’expression est suivi d’un C.O.D.

Ils se sont vu interdire/refuser l’entrée dans cette boîte de nuit
Certaines personnes se voient imposer une image affligeante d’eux-mêmes.
Elle s’est vue gifler l’homme qui lui manquait de respect.

• Mais si se voir est suivi d’un COI, c’est le participe passé qu’il faut employer.

Quatre hommes portaient des brancards et se voyaient relayés par d’autres.
Ces enfants se sont vu confiés à leurs grands-parents pendant les vacances.
Elle s’est vu agressée par une bande de voyous.

Écrivez plus simplement :

Je me suis vu confier cette mission ; on vous a confié cette mission.

Quelques réponses sur ce sujet.

Il est intéressant de savoir que la règle de l’accord du participe passé de se voir suivi d’un infinitif est rappelée par l’Académie française.

Site de l’Ac., > Questions de langue > « Pronominaux » :
« Suivi d’un infinitif, le participe passé d’un verbe pronominal suit la règle qui s’applique aux participes des verbes simples dans le même cas (voir article Participe passé (accord)). Avec se voir, l’accord du participe passé se fait si le sujet de se voir est aussi le sujet de l’infinitif qui suit : Ils se sont vu accorder des congés (on leur a accordé des congés) mais Ils se sont vus accorder des congés à tous les employés (ils ont accordé des congés à leurs employés). »
(C’est moi qui ai graissé sauf Suivi d’un infinitif.)