Larousse donne « casse-tête » comme un nom commun masculin invariable.
Bien sûr, votre formulation n’est pas adaptée à la langue écrite la plus raffinée, mais bon, vous ne serez pas le dernier à manier un nom comme un adjectif (les enfants rois, le rayon lingerie et les formules choc(s) en sont un échantillon) …
Si vous rédigez un texte professionnel devant vous mettre en valeur par la pertinence de vos informations et la clarté de vos expressions écrivez plutôt :
Les problèmes les plus ardus, les plus épineux, délicats ou complexes.

Oui vous vous trompez, le mot ‘casse-tête’ n’a pas ici valeur d’adverbe, mais d’adjectif, et il s’accorde donc bien avec ‘problème’.
[La question est donc juste de trouver le pluriel dans votre dictionnaire de référence. Il est invariable selon beaucoup, mais donné depuis longtemps avec une possibilité de ‘s’ au pluriel dans certains dictionnaires. Et les règles de 1990 demandent de l’accorder maintenant avec un ‘s’. C’est un choix à faire.]

Vous ne vous trompez pas :  il convient d’écrire, dans la langue soignée tout au moins :  Les problèmes les plus casse-tête. 

En effet, le mot casse-tête est, comme l’a écrit Joëlle, invariable.
Tous les dictionnaires consultés indiquent cette invariabilité, par ex. les deux grands dictionnaires suivants (c’est moi qui ai graissé) :

Dictionnaire de l’Académie française :
CASSE-TÊTE ◇ n. m. Inv.

Le grand Robert de la langue française,  version électronique, 2017 :
Casse-tête [kɑstɛt] n. m.invar.

Merci pour vos réponses.