Bonjour  Monsieur (le professeur) : est une formule d’appel à l’écrit ou une adresse / apostrophe à l’oral.

Il ne s’agit ni d’un COD ni d’un COI : voir ces termes qui sont des compléments du verbe, il n’y a pas de verbe dans votre « phrase » nominale.

Le mot mis en apostrophe, nom ou pronom, désigne l’être animé ou la chose personnifiée à qui l’on parle. C’est un mot indépendant, sans fonction dans la phrase.

Question inédite sur ce site à ma connaissance.
Elle présente l’intérêt de mettre en relief ce que l’on appelle en linguistique le vocatif, apostrophe ou invocation. En latin, cela s’exprimait par un cas spécifique de déclinaison du substantif mais le français n’en a plus et cela a laissé la place à ces formes atypiques. On trouve encore ce « cas » en langue corse par exemple : le prénom Dumenicu devient « o Dumè » lorsqu’on interpelle la personne (on entend cela dans le midi de la France).
On peut aussi citer sur le même plan « Ô » qui est une particule vocative : Ô toi que j’eusse aimée, ô toi qui le savais ! (Baudelaire).

Sur un plan grammatical moderne, l’ensemble constitue une apostrophe (en début de courrier) ou une interjection (Bonjour Monsieur ! ).

Bonjour.

Bonjour Monsieur le Professeur. = groupe nominal*  (mis) en apostrophe et sans fonction grammaticale.
Bonjour Monsieur le Professeur !  = Locution interjective**sans fonction grammaticale.
Monsieur le Professeur complète le mot-phrase Bonjour ; en ce sens, selon certains grammairiens, il en serait le complément. Cela ne signifie pas qu’il est C.O.D. (ou C.O.I.) : cf. ci-dessus.
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* Ou syntagme nominal. 
** Ordinairement, l’interjection est ponctuée par un point d’exclamation (appelé autrefois d’ailleurs point d’interjection).

Bonjour. Merci à tous pour vos réponses.
Je n’avais pas réalisé mon énorme erreur…
Bonne fin de dimanche à tous