Un tableau qu’il avait hérité de son père.
On a là un bout de phrase. Je complète :
Il lui montra un tableau qu‘il avait hérité de son père. =
A. Il lui montra un tableau ( COD du verbe montrer)+  B.il avait hérité ce tableau (COD du verbe hériter)de son père.
Si je veux subordonner B à A j’évite la répétition du mot « tableau » (COD du verbe hériter) en B. Je remplace ce nom par un pronom COD qui sera capable de subordonner B à A : il me faut donc employer le pronom relatif COD : c’est que.

Il lui montra un tableau dont il avait hérité.=
A. Il lui montra un tableau + B. Il avait hérité de ce tableau
Si je veux subordonner B à A j’évite la répétition du mot « tableau (COI du verbe hériter introduit par la préposition « de ») en B. Cette fois-ci, je remplace ce nom par un pronom COI du verbe hériter  qui sera capable de subordonner B à A : il me faut donc employer le pronom relatif COI qui correspond au COI +préposition « de » : c’est dont.

Remarque : on dit hériter qqc de quelqu’un et non °hériter de qqc de quelqu’un

Hériter avec un complément de choses et un de personnes. 

– L’éminent grammairien Joseph Hanse considère que le tour avec dont n’a  rien de déplaisant : la maison dont il a hérité de son oncle (à côté de qu’il a hérité de son oncle).

– Mais le Bon usage actuel  est  nettement moins catégorique : « Quand hériter a à la fois le complément de la personne et celui de la chose, on dit hériter qq. ch. de qqn  : À sa mère il doit le goût des lettres qu’elle avait hérité de sa propre mère (Maurois, Chateaubr., p. 55). — Les terres qu’il avait héritées de M. Henriot. °Hériter de qq. ch. de qqn est rare et peu recommandable ; les deux régimes ne sont pas là différenciés, sans compter que le double de ne plaît pas aux oreilles délicates. [J’ajoute que ce tour peut être ambigu :  R. le Bidois] ; cela choque moins avec dont et surtout avec en.  Un secret dont j’ai hérité de mes pères (Nodier). »

Et Le Grand Robert citant notamment  l’Académie française n’emploie pas dont: Le métier qu’il avait hérité de générations de forgerons (cit.). C’est une maladie qu’il a héritée de sa mère (Académie). — © 2017 Dictionnaires Le Robert – Le Grand Robert de la langue française.

L’auteur  de l’excellent blog Parler français conclut un peu dubitativement :« Ce qu’il conviendrait de dire

Le bel appartement qu’il a hérité de son père (?). »   

Ma conclusion : En fait, dont ne fait pas l’unanimité ; c’est pourquoi je vous conseille d’utiliser que. ==> Un tableau QU’il avait hérité de son père.

A bientôt ! 🙂

Désolée de vous faire une réponse si tardive, surtout pour vous remercier de votre aide à tous les deux.
J’ai adoré la référence au grammairien Joseph Hanse et toutes les autres. C’est de la recherche comme j’aime…pour ne pas répondre à la hâte ou selon sa seule conviction. La langue française est tellement complexe et sujette à tant d’interprétations.

Domy, j’apprécie beaucoup votre dernier message !   🙂