Note 1. On a bien compris que vous ne parlez pas d’une direction. Il n’y a pas de locution du type « au sens où » pour parler d’une direction.
Note 2. On a bien compris que vous ne parlez pas du pronom relatif COD « que ». Dans les constructions du type « dans le sens que vous donnez à ce mot », « dans l’armoire que j’ai ouverte »… , « dans le sens que » n’est pas davantage une locution que « dans l’armoire que ».

A. Dans la locution « dans le sens que », le « que » n’est pas un pronom relatif. C’est une conjonction de subordination introduisant une subordonnée complétive apposée à un nom. Cela sert à développer le nom.
— J’ai l’impression qu’il va pleuvoir
— L’espoir qu’elle reviendra me maintient en vie.
— Cette théorie que le chat descendrait du lapin est absurde.
— Je me raccroche à l’idée qu’Anatole avait raison.
— Le penseur Anatole avait en partie raison, dans le sens que la pensée précède effectivement l’action.
— Correspondant peut-être à cette inondation du visage par les yeux (à laquelle on ne faisait plus attention quand on le connaissait), je discernai vite en effet chez lui une intelligence rare et l’une des plus naturellement littéraires qu’il m’ait été donné de connaître, en ce sens que, sans culture probablement, il possédait ou s’était assimilé, rien qu’à l’aide de quelques livres hâtivement parcourus, les tours les plus ingénieux de la langue. — Proust
Une locution bien stabilisée est « en ce sens que », mais « dans le sens que » est fréquent et précis dans une langue plus courante et analytique. Cette façon de dire sert à sélectionner une idée parmi plusieurs interprétations possibles et à la développer pour argumenter.
— Ce chien ne rapporte certes pas le bâton, mais il est intelligent, dans le sens qu’il comprend l’ordre, même s’il n’y obéit pas.
C’est la conjonction « que » introduisant une subordonnée apposée qu’il faut utiliser dans ce type de phrase pour une bonne syntaxe. Peut-on remplacer la conjonction « que » par le pronom « où » ? Non. C’est sur cela que tel ou tel grammairien peut parfois insister : la subordonnée apposée s’introduit par la conjonction « que », et utiliser à la place le pronom relatif « où » est une faute de français.

B. La succession de quatre mots « dans le sens où » est utilisable quand on veut mettre une relative derrière le mot « sens » (le sens d’un mot, l’acception). Mais c’est simplement une utilisation très ordinaire des mots : dans la ville où je vivais, dans le groupe où je joue, dans le sens où j’utilise ce mot…
Puisque on dit « dans un sens », on préfère « le sens dans lequel » à « le sens où », comme on préfère « la pièce dans laquelle il entre » à « la pièce où il entre ». Mais la construction « dans le sens dans lequel », pourtant pas illogique, se remplace, on le constate, par « dans le sens où ».
— J’utilise ce mot dans un sens précis. / Je range mes chemises dans une armoire.
— Le sens dans lequel j’utilise ce mot… / L’armoire dans laquelle je range mes chemises…
— Dans le sens où je l’utilise, ce mot n’a pas vieilli. / Dans l’armoire où je les range, ces chemises n’ont pas vieilli.
On voit bien qu’il n’y a pas de locution particulière à considérer, mais qu’il s’agit simplement d’une construction libre, avec un nom et une relative.

C. Faut-il préférer « au » ou « dans le » ? Ces mots ne sont certes pas synonymes, mais il me semble que « au sens courant du terme » et « dans le sens courant du terme » sont équivalents. Probablement « au sens de » est-il plus ancien. Hors quelques locutions, qu’il suffit de constater dans la littérature ou les dictionnaires, on utilise de façon moderne « dans ». En particulier, la formule « au sens où » me semble moins rigoureuse.

Synthèse.
* au sens de : oui, locution
* au sens où : plutôt non
* dans le sens où : oui, mais sans y voir de locution, à utiliser juste si on a besoin d’une relative après un nom, comme avec ‘dans l’armoire où’
* dans le sens que : oui, cette formule participe à l’articulation d’une argumentation

Dans le sens que est correct : dans le sens que vous prenez (direction).

Ces expressions ne sont pas interchangeables.

« Donner un sens = Dans le sens que je donne à ce mot, blablabla. »

Il y en a un qui donne « dans le sens que » comme correct. Tout de même ! 

Alors qu’une certaine le donne comme erroné par deux fois !  

Je voyage dans le sens de la marche.
Il est compétent au sens où vous l’entendez.

Je ne connais pas « dans le sens où / dans le sens que »; sauf peut-être « dans le sens où vous allez (direction) .

Au sens où –> Vous pouvez dire « au sens où je l’entends« , c’est-à-dire « la signification que je lui donne ».
« Dans le sens où  » me semble une tournure erronée, mise pour « dans la mesure où« .
« Dans le sens que » me semble une tournure erronée dite en réponse à « dans quel sens dis-tu ça ? »
On répondra plutôt, par exemple : Dans le bon sens / Au sens péjoratif du terme / Ce que je veux dire par là, …
On peut aller / abonder dans le sens de quelqu’un , c‘est-à-dire être de son avis.

Prince écrit « dans le sens que vous prenez  « .
Désolée, la tournure est erronée.
On ne peut pas dire, en bon français, « vous prenez dans le sens », en tout cas à mon sens.
On prend la direction de / on prend le sens giratoire (on n’est pas dedans) / on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre / on prend une route en direction de, etc.

I – Ce qui détermine l’utilisation de que ou de où, ce n’est pas le sens de sens, mais la construction du verbe / la fonction du complément contenant sens.

(1) Quand le complément est circonstanciel, on aura où.

(2) Quand le complément est d’objet, on aura que.

(1) complément circonstanciel

a) sens = direction

Aller dans un sens : Allez dans le sens où vont les randonneurs.

b) sens = signification

Entendre quelque chose dans un sens : Dans le sens où j’entends ce mot, blablabla.

(2) complément d’objet

a) sens = direction

Prendre un sens : Allez dans le même sens que celui pris par les randonneurs.

b) sens = signification

Donner un sens = Dans le sens que je donne à ce mot, blablabla.

II – Concernant dans le sens où vs au sens où.

Ca dépend de la construction du verbe. Par exemple : Aller dans un sens, et non *Aller au sens, donc Dans le sens où on va et non *Au  sens où on va.

Sinon, dans par exemple Dans le sens où j’entends ce mot / Au sens où j’entends ce mot, uniquement sur mon intuition, sans avoir vraiment cherché plus loin, donc, je dirais que les deux tournures sont possibles et équivalentes (parce qu’on peut aussi bien dire entendre un mot au sens de  que dans le sens de ?).

Je crois que cela dépend du sens (!) du mot « sens ».
Sens –> direction : on emploie « où »
Sens —> signification : on emploie « que ».

Dans le sens où vous allez vous risquez l’accident.
Dans le sens que vous donnez à cette phrase, il y a ambiguïté.

Au sens de : le mot signifie généralement « signification ». Sauf contexte particulier.