Je pense que les deux se disent avec une préférence pour « au frigo » car il y a un mouvement.

Si je puis me permettre, je ne suis pas tout à fait d’accord avec la réponse de joelle.

A mon sens, on devrait dire « Je remis la bouteille dans le frigo ».
Ce qui m’amène à penser cela, c’est que la préposition « dans » évoque un lieu avec une contenance.
Alors que la préposition « au » peut évoquer un lieu mais sans induire de contenance.

Du coup, même si « Je remis la bouteille au frigo » est compréhensible (et banalisé), la forme me semble impropre.
A la rigueur, il vaudrait mieux dire « Je remis la bouteille à l’intérieur du frigo ».

Je précise que ça n’est que mon avis et que je respecte totalement celui de joelle. ^^

Merci pour ces réponses !
Je pensais de mon côté que l’on pouvait peut-être dire « dans le frigo » pour le « meuble », et « au frigo », comme on dirait « au frais ».

La notion de mouvement avancée par joelle n’importe pas. On peut mettre la bière dans le frigo ou au frigo. La bière peut être dans le frigo ou au frigo.
Par contre, les nuances de DukeOfDante et BBFolk semblent justes : « à » porte l’idée de fonction, quand « dans » ne donne que le lieu. Si le frigo est débranché, par exemple, on ne peut pas mettre au frigo. Je cuis le poulet au four / Je range les plats vides dans le four. Je suis au bureau (je suis au travail) / Je suis dans le bureau (je m’y trouve en ce moment). Je suis au café (pour boire) / Je suis dans le café (pour me protéger de la pluie). Mettre à la poubelle (se débarrasser) / Mettre dans la poubelle jaune (déposer là).
Dès que le nom est déterminé, ou pluriel, le « dans » est obligatoire. Mettre au frigo, mais mettre dans mon frigo, dans le frigo de la maison. Mettre à la poubelle, mais mettre dans la poubelle jaune. Etre au bureau, mais être dans le bureau du directeur. Cuire au four, mais cuire dans des fours. C’est le signe que l’utilisation de « à » crée une locution invariable détachée de l’objet concret pour ne considérer que sa fonction (bureau = travail, poubelle = jeter, frigo = frais…). Si on est « à la maison », le frigo est déterminé, et on utilise « dans ».
Donc, à mon avis, on conserve au frigo, et on range dans le frigo.
Ici, le verbe « j’ai remis » semble dire que je suis chez moi, et répondre à la question « où est la bouteille ? » (ou « que viens-tu de faire ? ») plutôt qu’à la question « à quelle température conserves-tu la vodka ? » C’est le mot « dans » qui convient.