J’ai du mal à identifier le groupe verbal (il y a le verbe « portes ») et je ne pense pas que le pronom relatif « que » fasse partie du verbe… à moins de considérer que le pronom relatif étant COD de porter (puisqu’il reprend la chemise)  ; auquel cas en effet, le COD peut être considéré comme complément du verbe, partie du groupe verbal. 

Que tu portes : P. sub. relative ; complément du nom « chemise ».
Antécédent : la chemise
La chemise est sale : Proposition principale
Que est un pronom relatif qui introduit la subordonnée, le verbe est « portes » et le sujet « tu ».

Oui « que » est COD du verbe porter et donc fait partie du groupe verbal de la subordonnée. Qui est relatif mais aussi pronom.
Il est pronom et remplace chemise :
La chemise que tu portes est sale>> les phrases de base :
La chemise est sale.
tu portes cette chemise