Bonjour,
Le verbe de la proposition complétive qui suit le verbe espérer est le plus souvent conjugué à un temps de l’indicatif : J’espère que vous faites attention / J’espérais que tu avais compris. Avec votre exemple, la construction la plus évidente et la plus simple serait : « Il inspira profondément en fermant les yeux, espérant que son amie avait une endurance plus importante que la sienne.« 

L’utilisation du subjonctif n’est cependant pas si rare, dès lors qu’on cherche à insister sur le caractère mental de la complétive. La concordance des temps voudrait qu’après une principale, on mît le verbe de la complétive à un temps passé du subjonctif « Il inspira profondément en fermant les yeux, espérant que son amie eût une endurance plus importante que la sienne. » mais il est toujours correct de se contenter du subjonctif présent, d’autant que dans cet exemple la capacité de l’amie ne représente pas un fait du passé mais une propriété constante « Il inspira profondément en fermant les yeux, espérant que son amie ait une endurance plus importante que la sienne.« 

P.S. Vous pouvez aussi employer le conditionnel comme futur du passé « Il inspira profondément en fermant les yeux, espérant que son amie  aurait une endurance plus importante que la sienne.« 

Merci beaucoup pour votre instructif