Avec ni l’un ni l’autre, l’auteur a le choix de l’accord du verbe :
c’est selon qu’il veuille faire ressortir le sens l’un et l’autre
Ni l’un ni l’autre ne connaissent la réponse.
ou
l’un ou l’autre
Ni l’un ni l’autre ne connaît la réponse.

http://www.logilangue.com/public/Site/clicGrammaire/NiNi_AccordVerb.php

Lorsque deux sujets — deux noms au singulier — sont liés par la conjonction ni, le verbe se met au singulier quand seul l’un des deux sujets pourrait accomplir l’action :
Ni Jean ni Michel n’est le père de cet enfant.
Lorsque les deux sujets pourraient accomplir conjointement l’action exprimée par le verbe, alors ce dernier se met au pluriel :
Ni la faim ni la soif ne l’ont fait sortir de sa tanière.

Quelques exemples :
Ni M. Fassiotti ni M. Curmi ne sera élu directeur.
Ni sa fille ni son fils n’a pu être désigné comme légataire universel.

Ni son mari ni son amant n’ont été entendus.
Ni son épouse ni sa famille n’ont pu l’inciter à se faire soigner.
Ni la chaleur ni la pluie ne l’ont fait écourter son séjour.
Ni son imagination ni sa sensibilité n’ont été exploitées.
(Source : Le Grand Livre de l’orthographe, Certificat Voltaire. Dominique Dumas).

J’écrirais votre exemple ainsi « ni le médecin ni le patient ne connaissent la composition du produit », car médecin et patient, conjointement, ne connaissent pas la composition du produit.

Bonjour,

Accord du verbe lorsque les sujets sont joints par ou ou par ni.

I- Lorsque plusieurs sujets de la troisième personne sont joints par ou ou bien par ni,  le verbe  se met au pluriel si l’on peut rapporter simultanément l’action ou l’état à chacun des sujets.

Ni l’or, ni la grandeur ne nous rendent heureux.
Ni l’un ni l’autre n’ont su ce qu’ils faisaient.

II- Mais si l’on ne peut pas rapporter l’action ou l’état simultanément à chacun des sujets, le verbe s’accorde avec le dernier sujet seulement.

La douceur ou la violence en viendra à bout.
Ni Jean, ni Paul ne sera délégué de la classe.

Remarques:

I- Même quand les sujets ne s’excluent pas mutuellement, l’accord se fait parfois avec le dernier sujet seulement.

Ni l’un ni l’autre ne viendra ce soir.

II- L’un ou l’autre est  toujours suivi d’un verbe au singulier.

L’un ou l’autre projet sera sélectionné pour la finale du concours.

Au vu de la remarque précédente j’écrirai:
Ni le médecin ni le patient ne connaît la composition du produit.( Aucun des deux ne connaît la composition du produit)

Exemple intéressant, mais petite faute de frappe : « Ni le pharmacien…. ». Par contre, j’ai appris quelque chose!