Je me suis engagé / je me suis engagée (si c’est une fille qui écrit) : verbe pronominal de sens réfléchi, on accorde avec le COD placé avant, ici le pronom « se ».
Je me suis engagé(e) auprès d’établissements
auprès d’établissements  : COI , donc on n’accorde pas avec le COI, qu’il soit avant ou après.
…des établissements auprès / au sein desquels je me suis engagé (e).

PAS DE  COD ANTEPOSE.

  …des établissements auprès desquels je me suis engagé(e)

Il n’y a pas de COD antéposé dans votre phrase.
— Je me suis engagé (engagée si le sujet est une femme) auprès de ces établissements.
J’ignore comment on peut nommer la fonction de « auprès de ces établissements » (sûrement pas COI comme proposé ci-dessus), mais ce n’est pas un COD, car un COD c’est « la souris » dans « le chat mange la souris« .
Donc, même si vous déplacez ce complément avant le verbe, avec la préposition « auprès« , avec le pronom relatif « desquels« … et qu’on aboutit à « les établissements auprès desquels je me suis engagé« , cela ne change rien.
C’est seulement quand on se retrouve avec un pronom COD antéposé qu’il faut se poser la question. Le seul pronom relatif COD est « que » (les établissements que j’ai fréquentés…). Ce n’est pas le cas ici.

La construction pronominale de votre verbe n’importe pas. Certes il existe des verbes conjugués pronominalement qui ont un COD, et pourquoi pas un COD antéposé (j’ai acheté une chose, la chose que j’ai achetée, je me suis acheté une chose, la chose que je me suis achetée). Mais votre pronominal n’a pas de COD extérieur à lui-même susceptible d’emporter l’accord. Mettons que le sujet soit une femme : que vous considériez « s’engager à » comme essentiellement pronominal (s’engager à, je me suis engagée à faire ceci) ou comme occasionnellement pronominal (engager quelqu’un à, je les ai engagés à faire ceci, je me suis engagée à faire cela), il n’y a pas de COD extérieur. Avec le verbe « engager » conjugué pronominalement, l’accord se fait avec le sujet selon une interprétation, ou avec le pronom COD selon une autre interprétation, et cela revient exactement au même, mais on n’accorde jamais avec un COD extérieur.