Comme il s’agit de 40% du pays, c’est de toute façon une partie d’un tout non dénombrable.
Selon toute logique c’est le singulier qui convient
40% (du pays) va être sous la pluie.

D’après Grévisse, le choix est possible, soit d’accorder avec le complément (explicite ou implicite), soit avec le nombre exprimant le pourcentage, mais n’oublions aussi pas que 100%, en tant qu’entité mathématique, ne vaut que 1 !
Personnellement, je privilégie la dénombrement réel (donc a priori j’accorde avec le complément) : 1,5 % des actionnaires ont voté pour la motion (il y a généralement plusieurs personnes) ; 62 % du corps électoral sont des femmes, mais 62% du corps électoral est constitué par des femmes.
Si l’entité est non dénombrable, je rejoins l’analyse de Tara et préconise logiquement le singulier : 40% du pays va être sous la pluie.

Un pays étant singulier, que l’on parle du pays entier (100 %) ou d’une de ses parties (40 %) on n’atteint jamais la quantité nécessaire pour employer le pluriel (2). Donc pour moi, une partie de l’ unité s’exprime au singulier.
Mais j’avoue que si l’on emploie un article, je préfèrerais dire « Les quarante pour cent du pays qui seront sous la pluie verront leur température maximale baisser » que « Le 40 % du pays qui sera sous la pluie verra sa température maximale baisser » car dans ce cas on parle plus d’un grand nombre de lieux que de la partie d’un tout .

Bref, pas facile.

Et si on avait utilisé le mot centième, j’aurais opté pour le pluriel sans discussion : Quarante centièmes du pays seront sous la pluie.