Bonjour,
Le Bescherelle indique ceci : les deux formes sont possibles.

1) Évidemment,  il est possible d’accorder le verbe avec sont sujet, qui est ici la majorité : La majorité d’entre eux se contente.

2) Il est aussi possible de l’accorder au pluriel parce que le sujet désigne une pluralité d’objets : La majorité d’entre eux se contentent.

Ton choix dépendra surtout du mot sur lequel tu veux mettre l’accent. Si c’est le fait qu’il y a une majorité qui est important, tu préfèreras l’accord n°1. Si tu veux appuyer sur le fait que c’est la majorité d’entre eux qui se contente, alors tu préfèreras l’accord n°2.

Pour le leur(s), c’est ainsi : si toutes les personnes désignées par eux ont chacune un camarade, tu mets : des exercices à leur camarade.
Si toutes les personnes désignées par eux ont chacune plusieurs camarades, tu mets : des exercices à leurs camarades.

Si, comme je le pense, tous les camarades sont communs à toutes les personnes désignées par eux, alors chacune en à plusieurs, donc c’est leurs.

Bonne journée.