Il s’agit ici de l’emploi du pronom qui sans antécédent. Il s’agit d’un neutre qui a le sens de « celui-qui ». Il peut avoir les fonctions du nom. Mais il doit se rapporter à un verbe.
Ici il ne peut se rapporter au verbe « s’ensuivre ». Il faut lui en donner un :
Il fit signe au serveur pour qu’il apporte la note et une petite dispute amicale s’ensuivit : c’était à qui réglerait l’addition.

La tournure « une petite dispute amicale s’ensuivit à qui réglerait l’addition «  est incorrecte, car il manque des mots.
La suggestion de Tara est intéressante.
Vous pouvez aussi écrire :
Une petite dispute amicale s’ensuivit, pour décider qui réglerait l’addition.