« Plusieurs minutes s’écoulèrent avant que la musique de la radio ne lui rappelle qu’il avait à faire en cuisine ».

« Il avait à faire en cuisine. »
Au restaurant.
C’est la simple utilisation des deux locutions juxtaposées : « avoir à faire » et « en cuisine » :
* « avoir à faire », sans complément d’objet, signifie avoir quelque chose à faire, avoir du travail.
* « en cuisine » peut désigner un lieu, mais uniquement d’un point de vue professionnel, dans la restauration (travailler en cuisine, travailler en salle). Travailler en cuisine n’est normalement pas une indication de lieu, mais d’activité. Quand on désigne malgré tout ainsi un lieu, c’est en rapport étroit avec sa fonction. « Le chef est en cuisine » signifie obligatoirement qu’il y travaille. Dans un restaurant, le lieu est indissociable du travail, et on peut confondre lieu et travail.
Donc, si le contexte de votre phrase est un restaurant, « il avait à faire en cuisine » est correct.
À la maison.
Si la question porte réellement sur « faire en cuisine » comme vous l’écrivez en titre, alors non, ça ne passe pas tout seul. Il faut chercher la bonne préposition liant le verbe et le lieu.
Vous pouvez bien sûr dire « il avait à faire dans la cuisine », ce qui nous renvoie au premier cas, mais vous trouvez que ça fait plat, vous ne voulez pas parler d’un simple lieu : allait-il changer une ampoule dans la cuisine ?
Pour une préposition qui indique à la fois le lieu et sa fonction, qui lie un verbe (faire) et un lieu (cuisine) utilisez « à ».
Exemple à l’atelier :
* Travailler en atelier. (approche théorique du métier)
* Je travaille à l’atelier. (dans un atelier en particulier, incluant sa fonction)
* Je change une ampoule dans l’atelier. (un simple lieu)
Exemple à la mairie :
* L’électricien est dans la mairie. (le lieu, sans sa fonction)
* Faire des démarches en mairie. (l’absence de déterminant supprime totalement la notion de lieu, c’est une phrase très abstraite)
* Travailler à la mairie. (lieu et fonction se rejoignent)
Sur le modèle de ces exemples, vous pouvez tenter « faire en cuisine » avec un sens théorique et abstrait, intituler ainsi un chapitre de livre, mais dans votre récit, il y a du concret, du géographique. Je vous conseille donc : « Il avait à faire à la cuisine ».
« Faire à la cuisine » ne devient pas pour autant une locution, mais la préposition « à » lie harmonieusement la locution « avoir à faire » et le complément de lieu « cuisine » dans un rapport qui dépasse la localisation. Est-ce ce que vous souhaitiez ?