Minimum est un nom
Il faut fixer le minimum de 100€
—> en ce cas il a un déterminant (le/un/son/ ce/etc.
Et il est suivi d’un complément ( : un minimum d’efforts)

Minimum est adjectif
C’est le prix minimum qu’il faut compter
–> en ce cas il se rapporte à un nom

Au minimum est un adverbe (= au moins)
Je lui donnerai 100€ au minimum
—> en ce cas il modifie un verbe

Dans votre phrase ce n’est pas ce mot qui convient . Il vous faut un adverbe pour modifier le verbe, mais un adverbe qui n’ait pas le sens de « au moins » :
Assez fainéant, il trouvait toujours le moyen de travailler le moins possible afin de subvenir
aux besoins de sa famille.
Ou, si vous voulez utiliser le nom  « minimum » :
Assez fainéant, il trouvait toujours le moyen de  fournir le minimum de travail afin de subvenir aux besoins de sa famille.