Continuer à s’emploie pour une action commencée qui se poursuit : je continue à travailler (je n’ai pas arrêté).
Continuer de peut être réservé à des actions habituelles qui s’interrompent : cet homme continue de boire.
Ce sont des nuances…
Le projet Voltaire note que continuer de est plus soutenu.

Merci pour cette réponse.
Ma responsable me demandait de modifier ma phrase « Je continue de cuisiner » par « Je continue à cuisiner » et j’étais vraiment dans le flou.

En principe, continuer à signifie prolonger l’exécution d’un acte commencé ou persister à être dans un état : elle a continué à travailler pendant six mois avant d’y renoncer.
Continuer de signifie faire une action, être dans un état sans qu’il ait d’interruption : il continue de boire malgré nos conseils.

Aujourd’hui, on ne fait guère la distinction sémantique. L’Académie française, elle-même, l’a abandonnée, elle donne comme exemples, dans son Dictionnaire : « Il faut continuer à travailler, la pluie continuait de tomber, le mal continuait de se répandre. », et par ailleurs : continuer à faire, à dire, de faire, de dire.
On peut donc utiliser de ou à indistinctement.

En revanche, aujourd’hui, on emploie l’une ou l’autre des prépositions pour des raisons d’euphonie ou pour éviter les hiatus :
Il continue de pleuvoir est souvent préféré à il continue à pleuvoir.
Elle continue d’aimer plutôt que elle continue « à aimer ».
Même blessé, au cours d’un match de football historique, Beckenbauer continua de jouer, plutôt que il « continua à » jouer.
Il continue à demander de l’argent à sa grand-mére, plutôt que il continue « de demander ».