Artiste est le nom commun qui désigne en général la personne.
Un peintre est un artiste.
Artistique est l’adjectif qui qualifie tout ce s’apparente à de l’art. Une démarche artistique.
Les études de théâtre sont une formation artistique.
« Artistiquement » et « artiste »   sont des adverbes : le premier est général et peut s’appliquer à toute démarche ou au domaine de l’art. Un adverbe modifie un adjectif, un verbe ou un autre adverbe.
Il a décoré son salon artistiquement. 
Et le second est donné comme synonyme mais j’aurais tendance à le réserver aux personnes., artistes et artisans, pour qualifier leur travail.
Selon le CNRTL, pour artistement : 
– En parlant de ce qui est dû à l’habileté, au savoir-faire d’un artisan (cf. artiste I A)] Artistement brodé, tressé 

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