Les deux sont correctes, le sens est un peu différent dans chacune.

« Entrez, je vous prie. «  est une  formule un peu autoritaire. Elle signifie « Je vous demande de rentrer. »

« Entrez, je vous en prie » est plus une formule de politesse. Elle signifierait plus « Entrez, ne vous gênez pas. »

Il me semble que l’autorité ne dépend pas tant de la grammaire que du ton et de l’attitude si l’on est à l’oral.  A noter également, que le mode impératif s’emploie pour donner un ordre, ou un conseil, voire formuler une prière.
Les modulations de la voix, et le non-verbal en général permettent de distinguer si l’on prie ou si l’on commande…

A l’écrit, il est plus difficile….Je préciserais que le pronom « en » a valeur de COD, et renvoie à l’action « d’entrer ». En réalité, il n’ajoute rien dans la communication directe.
En revanche, le pronom est utile pour ne pas répéter : « il est entré comme je l’en avais prié » (on voit ici l’utilité de la reprise pronominale).