Malgré son ambiguïté, il faut utiliser l’infinitif :
« Ils se voient offrir un domaine » (« ils » peuvent l’offrir ou on peut leur offrir).

Au passé, la difficulté porte sur l’accord du participe passé.

Si le complément d’objet direct du verbe qui suit voir ne représente pas la même personne que le pronom se, on utilise l’infinitif, mais deux cas peuvent se présenter.

Si le pronom se représente la même personne que le sujet du verbe qui suit voir, vu s’accorde avec celui-ci :
« Elle s’est vue confier cette mission » (elle a confié cette mission à quelqu’un).

Ici, on aura : 
« Ils se sont vus offrir un domaine » si le sens est : ils ont offert un domaine à quelqu’un.

Si le pronom se n’est pas le sujet du verbe qui suit voir, il n’y a pas d’accord :  
« Elle s’est vu confier cette mission » (quelqu’un lui a confié cette mission).

Ici, on aura :
« Ils se sont vu offrir un domaine » si le sens est : quelqu’un leur a offert un domaine.

Merci, Jean, vos explications sont tout à fait claires.
Dans les phrases au passé que vous citez, l’ambiguïté disparaît avec l’accord du participe passé. Je comprends que dans les autres cas il faut s’accommoder de l’ambiguïté…

Je dois confesser que quand elle se voit attribuée une place ou indiquée la direction je me mets souvent à douter, au lieu de voir clairement une faute…

Bonjour Veso.

Je pense que la question se pose quand le pronom « se » est COD du verbe. Dans ce cas, après « se voir », on peut utiliser l’infinitif ou le participe passé.

Prenons l’exemple suivant : Elle se voit rouée de coups par son mari ou elle se voit rouer de coups par son mari.

Les deux phrases sont possibles avec peut-être une légère différence de sens.
Avec le participe passé on considérera que l’action est terminée, alors que l’utilisation de l’infinitif exprime plutôt que l’action est encours.

Si l’on remplace « rouer » par un verbe du troisième groupe, les deux propositions ne choquent pas : elle se voit battue par son mari, elle se voit battre par son mari.

Cette tournure est courante dans nombre de jeux où « le gagnant se verra offrir un voyage à l’Académie avec une personne de son choix ».
Pour moi, il n’y a pas de doute dans cette phrase-là. Mais votre remarque concernant l’ambigüité est fondée : si le participe passé n’indique pas le sens du cadeau, on peut comprendre la phrase dans les deux sens ! C’est un superbe cas d’amphibologie…
Dans une telle situation, si le contexte ne lève pas l’équivoque, le mieux est de modifier la phrase : Ils se voient offrir un domaine à quelqu’un  ou par (de) quelqu’un.

Bien sûr, j’aurais dû penser à ces nombreux jeux où les candidats — non moins nombreux — se battent férocement pour se voir offrir un voyage en costume à l’Académie.
Pour ma défense, je précise que l’auteur de la phrase où ils se voient offert maîtrise fort bien la langue (ce point mis à part !), alors je ne pouvais pas ne pas douter… (Chacun comprendra que quand les fondements ne sont pas stables il n’en faut pas beaucoup pour que tout vacille.)

Il n’était en tout cas pas inutile que je pose la question, puisque j’ai maintenant tous les éléments en main pour ne plus douter (reste à voir ce que cela donnera en pratique…).
PhL, merci de vos précisions, qui ne sont pas du tout superflues, j’avais probablement mélangé les deux cas de figure.
C’est l’« analyse » du pronom qui permet de déterminer l’accord sans se tromper.
Ils se sont vus interdits de compétition (= ils ont vu eux-mêmes interdits de compétition) ou ils se sont vu interdire de compétition. Il est vrai en tout cas que la nuance de sens est subtile…
(C’est le choix de l’infinitif que je trouve un peu déstabilisant dans ces exemples, spontanément j’opterais plutôt pour le participe.)