Le Ministère de la culture écrit le service des Monuments Historiques avec des majuscules…C’est son choix, contestable car ce n’est ni une marque ni une appellation, sauf éventuellement pour l’inventaire des Monuments Historiques ( et encore)….

En revanche, si vous rédigez, contentez-vous de la simplicité de la règle : un monument historique est un groupe nominal formé de deux noms communs.
Cette église a été classée monument historique.

Bonjour Durillon.

Un monument est classé historique par l’administration des Beaux-Arts pour son intérêt historique ou artistique et protégé par l’État.
Il ne désigne pas un monument particulier, unique.
Monument historique ne prend pas de majuscule : monument historique.

Les habitudes sur ce sujet semblent avoir changé au fil du temps, depuis la création par Mérimée au XIXe siècle…
De nos jours, les ouvrages protégés sont gérés par la « Commission nationale des bâtiments historiques » dépendant du ministère de la Culture. Voir la loi ici. La majuscule à Commission s’explique par le niveau national de cette instance dont il existe des délégations régionales, et il n’y a pas lieu d’en mettre d’autres.

Cela étant, il est courant de parler par abréviation de cette structure en parlant familièrement des « Monuments historiques ». Dans, ce cas, il ne me semble pas fautif de reporter la majuscule sur « Monuments », son absence engendrant une difficulté de lecture : Cette chapelle est suivie par les Monuments historiques.
En revanche, il n’y a pas lieu de la faire figurer dans les autres cas : Cette église a été classée monument historique.

Merci pour ces éclairages tous très interessants