La question a déjà été posée, mais ce n’est pas grave….
Je reproduis le texte d’une excellente réponse, car je ne sais pas créer de lien comme les « professionnels »…

Il existe une légère nuance de sens entre les deux constructions.

En théorie :
Continuer à signifie « prolonger une action commencée » ou « persister à être dans un état » :

« Continuez à travailler ainsi pendant six mois et vous serez prêt pour le baccalauréat ».
« Malgré tous les soins, le malade continue à se sentir fatigué ».

Continuer de signifie « faire une action / être dans un état sans qu’il y ait d’interruption, sur une période donnée » :

» Ils ont continué de l’aider jusqu’à la fin de leur vie. »

En pratique :
En général, on choisit l’une des constructions pour des raisons d’euphonie.
Continuer de permet d’éviter l’hiatus : « Il continua d’aller mieux. » On évitera « Il continua à aller mieux ».
Inversement, on emploiera continuer à devant un verbe commençant par de- : « Ils continuaient à deviser joyeusement (plutôt que « Ils continuaient de deviser joyeusement »).

Les deux verbes « commencer » et « continuer » donnent bien du fil à retordre à ceux qui essayent de conserver toutes les finesses de la langue, mais aussi aux spécialistes qui tentent de la codifier.
Pour faire bref, les deux constructions  avec à  et de  sont grammaticalement correctes, mais peuvent amener des nuances dans le domaine littéraire, nuances sur lesquelles le consensus n’est pas établi.
Vous trouverez sur ce site une excellente analyse des différentes approches, mais il y a fort à parier que pour un texte en langage courant peu de personnes perçoivent la subtilité…

Merci pour ces réponses, comme toujours, hautement intéressantes !