Dans partir on a davantage la notion de quitter un lieu.  Aller évoque un déplacement d’un lieu vers un autre.
Ainsi partir au cinéma n’est pas très adapté, on dira mieux :
« je suis allé au cinéma ».

Il vaut mieux  préférer « aller » à « partir » qui n’est pas correct.
De même, on évitera « j’ai été au cinéma », qui est une erreur répandue. En effet, « été » décrit un état ( j’ai été malade), mais non l’idée d’un déplacement.

Bonjour,

Le verbe partir se construit avec la préposition à ─ partir à.

Chaque matin je pars à l’école à huit heures.
Tous les week-ends nous partons à la campagne.

Je suis allé au cinéma signifie non pas que l’on a l’intention de voir un film mais que l’on a déjà vu ce film.

Je suis allé au cinéma hier soir avec des amis.

Je suis désolé. Paul n’est pas là, il est parti au cinéma.

Bonjour,

En effet, partir à est maintenant admis dans le sens qu’indique czardas. Mais comme j’ai été nourrie au biberon des  usages classiques, je vous recommande partir pour.

Je suis allé au cinéma, signifie que vous en êtes sorti. 
Il est parti pour le cinéma signifie que la personne peut y être encore.