Bonne question. On oublie souvent de rappeler que la francisation d’un mot quelconque commence avec la… prononciation.  La graphie (et donc  l’italique) ne fait normalement que suivre. Ce principe élémentaire, violé tous les jours, permet de différencier les cas de figure. Je me souviens d’une bataille épique lors du décès de la reine d’Angleterre Elisabeth II concernant ses célèbres chiens. Les uns prononçaient « corgi » avec un g dur à l’anglaise (en fait un mot écossais qu’on aurait dû écrire corgui), les autres avec un g doux, suivant logiquement la graphie française largement diffusée.
En bref, si la graphie est identique dans les deux langues, le mot est francisé donc sans italique (fox-terrier, doberman). Si la prononciation est très différente, on peut dire les deux mais la graphie reflètera le souhait du rédacteur. L’italique obligera le lecteur à se renseigner sur la langue utilisée, le romain le laissera perplexe ou avec une prononciation erronée (comment savoir que beagle est un mot étranger ?).
Force est de reconnaitre que plus personne ne prend le soin de franciser graphiquement les mots étrangers et que la confusion règne donc depuis un moment là-dessus.

Dès qu’on dit que tel mot est « un mot d’origine étrangère » et non « un mot étranger », c’est qu’on considère que c’est un mot intégré au français, et on peut alors l’écrire sans italique.
Pour faire votre choix, vous pouvez (pour les domaines dont vous n’êtes pas spécialiste) simplement vérifier la présence d’un mot dans un dictionnaire, c’est-à-dire laisser à d’autres le soin de savoir si ce mot est entré ou non dans la langue française. Pourquoi pas le dictionnaire collaboratif fr.wiktionary.org, qui intègre très largement (trop largement diront sans doute certains) les mots qui s’utilisent en français. Vous y trouverez sans surprise les mots beagle et yorkshire. Dans cette dernière phrase j’ai écrit beagle et yorkshire en italique parce que je parle des mots et non des chiens.

Ni la conservation ou non de l’orthographe d’origine, ni la prononciation en français, ne sont des critères pour choisir l’italique. Par exemple, pour le mot « surf », il n’y a pas besoin d’attendre qu’on écrive à la française « seurf », ou inversement qu’on prononce à la française « sürf », pour considérer que ce mot est intégré au français et qu’on peut l’écrire sans italique.
Sans aucune adaptation aux normes françaises, en utilisant l’orthographe anglaise, et même en conservant la prononciation anglaise, on écrit sans italique : « ce weekend, je vais faire du surf avec mon yorkshire ».

Maintenant, si l’origine étrangère d’un nom de race vous a fait réfléchir, c’est peut-être parce que c’est un nom d’origine étrangère (j’ai répondu ci-dessus), mais c’est aussi probablement parce que c’est un nom de race.
Par parallélisme avec yorkshire, s’il existait une race aveyron, seriez-vous tenté d’y mettre de l’italique ?
Par parallélisme avec beagle, s’il existait une race équivalente nommée en France bégueule (une origine possible du mot), seriez-vous tenté d’y mettre de l’italique ?
Si oui, votre question ne concerne pas les mots d’origine étrangère, mais elle concerne une insistance sur le nom de la chose plutôt que sur la chose désignée par ce nom. Votre question devient : les noms de races prennent-ils l’italique ?
Oui, plus souvent que d’autres mots, les races, les espèces, le nom des lettres, les désignations officielles, les autonymes, prennent parfois l’italique : « Est-ce que manger est un verbe du premier groupe ? Il n’y a de x dans ce mot. L’adjectif rose est-il rose ? ».
On mange des cèpes et des giroles sans italique, mais si on tombe sur une espèce qui n’a pas de nom vernaculaire dans notre région ou dans notre langue, alors on mange des sicocus ramidus, avec de l’italique, car cela signifie « le champignon dont le nom officiel de l’espèce est… ». On n’utilise pas la métonymie consistant à donner le nom de l’espèce à l’exemplaire récolté. Plus le nom est rare, plus il est officiel, plus il est latin ou étranger, plus on a tendance à mettre en valeur qu’on parle du nom de la chose plutôt que de la chose. Et c’est tout à fait légitime.
a) Mettre l’italique au nom de la race, c’est dire qu’on parle du nom de la race.
b) Ne pas y mettre l’italique, c’est dire qu’on parle d’une race (une lignée), ou par métonymie d’individus de telle race.
a) Si vous pouvez construire votre phrase de manière à ajouter « qu’on nomme » ou « dont le nom est » avant le nom, alors vous parlez du nom, et vous pouvez utiliser, par exemple et si vous le souhaitez, l’italique pour souligner cela.
b) Si vous pouvez ajouter « mon » avant le nom, alors vous parlez d’un individu, et l’italique n’est pas envisageable.
a) — La race yorkshire a été reconnue seulement en 1956
b) — Mon yorkshire joue dans le jardin

Un grand merci pour ces réponses extrêmement détaillées. Voilà qui éclaire ma lanterne et  m’aidera pour mes rédactions futures !