En effet, c’est vulgaire…
Comme c’est une expression orale, pour laquelle il n’existe pas de ligne académique, et pour cause, vous pouvez peut-être suivre TV 5 monde qui diffuse la langue française et prône le pluriel (voir ci-après).
Sinon, d’autres sites vous donnent le singulier.
J’ai trouvé une référence à l’expression « partir en quenouille » qui fait référence à la déperdition d’un héritage (et d’autres choses par extension) s’il revient …à une femme.
Votre expression serait l’équivalent, mais au masculin…
Synonyme « Partir En couilles »
v. intr. (familier)
aboutir à rien, avorter, finir en queue de poisson, ne pas aboutir, aller en eau de boudin, tourner au vinaigre, tourner en eau de boudin, tourner mal.

Il est difficile de faire une analyse historique pour une expression qui ne date que de la seconde moitié du XXe siècle et n’a clairement pas la faveur des grammairiens.
Elle se rencontre néanmoins à l’écrit et le singulier « tient la corde » dans les occurrences publiées (voir le graphe de fréquence). À noter que la première apparition dans un dictionnaire de « langue verte » date de 1960 et reprend aussi le singulier (voir le très connu dictionnaire d’Auguste Le Breton).
Dernier point : comme pour la langue académique, il n’y a pas raison de faire figurer un pluriel si rien ne l’impose.  Cela s’applique aussi à l’argot…