Je ne sais pourquoi cela vous semble « lourd » mais je dirais et écrirais : « Je te donne accès au dossier pour que tu puisses te familiariser avec. » C’est la préposition qui convient avec ce verbe. Elle est ici utilisée de manière adverbiale (voir cette question récente).
La forme se familiariser à se rencontre occasionnellement (parfois avec une connotation littéraire) mais peut passer pour une incorrection dans la vie courante (voir Grevisse).