Si Moustache est le surnom d’un homme, l’adjectif reste au masculin.
En effet, ce n’est pas « la moustache » mais Moustache.

Merci pour votre réponse Joelle. Et dans le cas d’un surnom avec article comme « le flamant rose » ?

Sauf recherche d’un éventuel jeu de mots, l’accord se fait normalement en fonction du sexe de la personne, pas de son surnom. De même, si la personne est reprise dans la suite, elle reprend son sexe : « Le Flamant rose s’est maquillée. Elle va draguer les marais des bas-quartiers… »

Merci à tous, en particulier marcel1. Je cherchais un ouvrage de référence qui évoque la question.

Il n’y a que quelques rares cas de syllepse possibles pour conjuguer un verbe (comme récemment rappelé sur ce site) :
— on est arrivées en retard…
Mais quand le sujet est un syntagme nominal, avec son déterminant, il impose son genre et son nombre :
— les Pays-Bas sont concernés (même si c’est un pays unique)
— le chef est concerné (même si c’est une femme)
Si on désigne une personne selon son rôle, son métier, seul l’accord syntaxique est valide.
— la sentinelle (un homme) est blessée ; le témoin (une femme) est arrivé…
Si la façon de désigner des personnes est tirée d’une caractéristique, d’une ressemblance, c’est là encore le nom de substitution qui impose son genre et son nombre.
— Les hirondelles (ancien surnom des gendarmes dû à leur uniforme) sont intervenues.
— Les chemises noires (une milice d’hommes) sont arrivées.
— Une chemise noire (un homme de la milice), une gueule cassée (un mutilé de guerre) est arrivée.
Si vraiment on ne peut pas se résoudre à écrire « la dernière chemise noire est morte », alors on peut (théoriquement) écrire « le dernier ‘chemise noire’ est mort », et ce sera encore une autre construction, dont je peine à trouver le nom. Mais globalement, c’est le déterminant qui impose le genre, la conjugaison, et l’accord syntaxique.

On ne devrait pas écrire sans trembler : le petit chaperon rouge est morte.
Ni : la terreur de l’Arizona est mort.

Suffit-il d’une majuscule magique pour transformer une métonymie qui a le genre de son nom en un nom propre qui a le genre de son sexe ?
— Les chemises noires sont arrivées –> Les Chemises noires sont arrivés
— Le petit chaperon rouge est mort –> Le Petit Chaperon rouge est morte
Rien ne l’indique. Un déterminant reste un déterminant, avec son genre et son nombre.
La Panthère rose (dans le dessin animé) est un mâle et on doit cependant dire que la Panthère rose est astucieuse.

C’est seulement quand l’article lui-même fait partie du nom propre qu’il cesse d’être un déterminant et permet l’accord selon le sexe.
Précisons aussi qu’à l’écrit, vous ne déterminerez si l’article prend ou non la majuscule qu’au milieu d’une phrase, et non en début.
— Je crois que Le Bon (l’actrice Charlotte Le Bon) est belle.
— Je crois que Le Flamant rose est belle.
Sans majuscule à l’article, on reste au stade d’une métonymie ou d’un mot pour un autre, et l’accord se fait conformément au déterminant :
— Je crois que la Panthère rose s’est maquillée pour nous faire une surprise. Bien que ce soit un mâle.
— Je crois que le Flamant rose s’est maquillé pour nous faire une surprise. Même si c’est une femme.