Plusieurs réponses sont possibles :
1. Accord de proximité :  « Quelle île ou archipel est revendiqué par les Français ? »  Il s’agit d’une solution parfaitement correcte lorsque les mots sont accolés, n’en déplaise à certains puristes du « tout masculin ». Voir ici un billet instructif des correcteurs du Monde à ce sujet.  Vous noterez qu’au singulier, ce principe est appliqué deux fois dans la phrase (quel et participe passé).
2. Inverser l’ordre des mots : « Quel archipel ou île est revendiqué par les Français ? » Pour les puristes du masculin à tout crin.
3. Mise en incise : « Quelle île, ou archipel, est revendiquée par les Français ? ». « Quelle île (ou archipel) est revendiquée par les Français ? » L’incise n’influe pas sur les accords.

Un complément détaillé du linguiste Michel Francard sur l’accord de proximité, en genre mais aussi en nombre.

Donc, vous hésitez entre deux choses (ça peut être une île, ou ça peut être un archipel), mais comme vous savez qu’il ne faut qu’une réponse, vous avez décidé qu’il fallait un unique déterminant pour les deux mots. Très bonne idée.
Par exemple, si on vous apprend la mort d’un de vos animaux sans préciser s’il s’agit de la mort d’une vache ou d’un cheval, vous vous demanderez s’il faut dire et écrire :
— Le vache ou cheval est mort (la forme préférée des puristes explique-t-on ci-dessus)
— Le cheval ou vache est morte (accord de proximité pour le déterminant et pour le participe passé)
— La vache ou cheval est mort (accord de proximité pour le déterminant et pour le participe passé)
Quand le déterminant est un adjectif possessif, cela donne
— Mon vache ou cheval est mort
— Mon cheval ou vache est morte
— Ma vache ou cheval est mort
Et quand le déterminant est un adjectif interrogatif, comme dans votre phrase, cela donne
— Quel vache ou cheval est mort ?
— Quel cheval ou vache est morte ?
— Quelle vache ou cheval est mort ?
Si cette explication vous convient, très bien. Son promoteur nous explique en permanence que tant que les différences syntaxiques ne s’entendent pas, ça passe.
En passant par le déterminant article défini et le déterminant possessif, j’ai tenté de vous montrer que, même dans le cas du déterminant interrogatif de votre phrase, vous mettez un déterminant commun à deux mots différents, représentant deux réalités différentes, et que cela est la négation même de l’idée de déterminant. C’est quoi pour vous un déterminant ? Vous ne pouvez pas penser faussement, et il n’y a pas de réponse correcte à votre question. Vous devez donner un déterminant à chacun des deux noms de votre question, parce qu’une île et un archipel, ce n’est pas la même chose.