pour être religieuse est un complément circonstanciel de but.

Attention à la rupture syntaxique….
pour qu’elle soit religieuse : meilleure construction en subordonnée ayant un sujet distinct de parents

* Pour ce qui est de la nature de « pour être religieuse », est-ce une proposition ? Plutôt non.
Bien qu’on y trouve un verbe et un attribut, le fait qu’il manque le sujet conduit plusieurs grammairiens à ne pas y voir une proposition infinitive.
Dans « j’entends Pierre parler », « Pierre parler » est une proposition infinitive
Dans « je suis venu pour qu’il me parle », « pour qu’il me parle » est une proposition.
Mais dans « je suis venu pour lui parler », « pour lui parler » n’est pas une proposition infinitive. Il faut plutôt rapprocher cela d’un syntagme nominal (je suis venu pour la conversation), comme l’est souvent un simple infinitif.
Mais je ne pense pas que cela ait la moindre importance. Qu’on appelle ou non cela une proposition, c’est la fonction qui compte : ici, c’est un complément adverbial ou complément circonstanciel. Pourriez-vous nous dire pourquoi vous souhaitez identifier la nature syntaxique d’un morceau de phrase ? Ça ne sert absolument à rien si vous ne devez pas devenir linguiste. Connaître la fonction des mots et des groupes de mots, c’est utile, mais connaître leur nature, c’est une catégorisation assez arbitraire. Un adjectif peut s’utiliser adverbialement, un infinitif tout comme une proposition peuvent avoir la valeur d’un nom, un nom ou une proposition peuvent être apposés dans un sens adjectival… Classer les mots en catégories n’a pas d’intérêt pratique dans l’usage de la langue. Cela ne participe pas à l’analyse syntaxique des phrases.

* Subordonnée ? Non si ce n’est pas une proposition.

* Circonstancielle ? Oui, mais comprenez bien qu’en disant par exemple « proposition subordonnée circonstancielle », vous mélangez la nature et la fonction. Si tout est clair pour vous, pourquoi pas, mais ce n’est pas une notion qui existe en soi. La nature peut être par exemple : proposition, ou groupe nominal… La fonction peut être par exemple : sujet, ou complément circonstanciel…

* L’alternative que vous nous proposez (complément circonstanciel ou suite de le complétive) n’est pas bien pensée, car c’est les deux à la fois.
Il faut raisonner avec des imbrications.
Dans « je pense qu’il est venu pour qu’on le voie », il y a une imbrication :
— je pense [ qu’il est venu [ pour qu’on le voie ] ]
— [qu’il est venu pour qu’on le voie] complète [je pense]
— [pour qu’on le voie] complète [il est venu]
Vous voyez que [ pour qu’on le voie ] est une subordonnée complétive de but à l’intérieur d’une subordonnée complétive.
Ne cherchez donc pas de fonctions à des groupes de mots à l’échelle de la phrase, mais de façon imbriquée à l’intérieur d’une proposition.
Dans votre phrase, à la fois, « pour être religieuse » fait partie intégrante de la proposition subordonnée conjonctive complétive, et a une fonction de complément de but à l’intérieur de cette complétive :
— Elle me répondit ingénument [ qu’elle était envoyée (par ses parents) (pour être religieuse) ].

* Et il n’y a bien évidemment aucune rupture syntaxique dans « elle a été envoyée pour être religieuse », pas davantage que dans « elle est venue pour être religieuse », oubliez ces bêtises, c’est parfaitement construit.