D’une manière générale, un adjectif précédant un « nom propre » quel qu’il soit (patronyme, toponyme, chrononyme, etc.) ne prend la majuscule que s’il fait effectivement partie de ce nom, pas s’il le qualifie ponctuellement ou de manière vague.
Les Alpes sont un massif montagneux bien délimité mais les basses Alpes sont une désignation approximative de ses parties les moins élevée et les Basses-Alpes le nom ancien du département actuel des Alpes-de-Haute-Provence.
Tout dépend donc du contexte spécifique à l’ouvrage ou au texte en question.  Par défaut (hors définition spécifique donnée auparavant ou par un dictionnaire généraliste usuel), il n’y a pas lieu de majusculer.

Merci pour vos retours éclairants !

https://www.herodote.net/Le_haut_Moyen_Age-synthese-1688.php

Je ne vois pas de raison de mettre une majuscule à l’adjectif haut dans l’expression.
La revue citée en lien non plus.