Qu’ai-je donc bien pu faire pour mériter d’avoir une enfant aussi irrespectueuse ?  ici on est bien au passé composé, qui peut s’insérer dans un récit au présent puisque la question porte sur une action passée.
Pour le présent, c’est « que puis-je donc faire ? » mais ce n’est pas logique dans votre phrase.

La forme aies-je (qui équivaudrait à j’aies sans inversion) ne correspond à aucune conjugaison du verbe avoir. Ce n’est donc pas à considérer.
Plus logiquement, pensez la phrase sans inversion. Diriez-vous  :
— J’ai demandé, en relevant les yeux vers lui : « Qu’est-ce que c’est ? »
— Je demandai, en relevant les yeux vers lui : « Qu’est-ce que c’est ? » (passé simple)
— J’avais demandé, en relevant les yeux vers lui : « Qu’est-ce que c’est ? »
— Je demande, en relevant les yeux vers lui : « Qu’est-ce que c’est ? »
Vous faites le choix en fonction de la concordance des temps avec le reste du texte puis vous inversez sujet et verbe. Pour la dernière phrase (présent de narration), la forme inversée est demandè-je.

Merci Chambaron pour cette explication circonstanciée, laquelle me sera certainement utile en d’autres contextes.

J’arrive donc bien à « ai-je » en conclusion finale. Il est dommage que certains de mes textes aient été corrigés de manière erronée par des relecteurs jusqu’à induire en erreur ! Mea culpa.

Une seconde question en relation avec la précédente : dans le contexte suivant  « Qu’ai-je donc bien pu faire pour mériter d’avoir une enfant aussi irrespectueuse ? » ;  nous sommes bien d’accord sur le ai-je, ou bien suis-je dans l’erreur ?

Merci.

Amélie

Bonjour,

L’orthographe est ai-je.

J’aurais, si vous le permettez, deux conseils à vous donner :
1. Quelqu’un qui  laisse passer ou qui écrit plusieurs fois « aies-je » n’a pas les compétences pour vérifier l’orthographe d’un texte.
2. Si vous racontez au présent et à la première personne, vous immergez le lecteur dans une bulle temporelle d’immédiateté et dans un rapport personnel au narrateur ; évitez alors les incises de dialogue qui créent une distance formelle, surtout avec le français qui oblige à l’inversion, une tournure étrangère au langage parlé.
Aux  formulations :
« — Qu’est-ce que c’est ? ai-je demandé en relevant les yeux vers lui. », ou surtout « — Qu’est-ce que c’est ? demandè-je en relevant les yeux vers lui. »,
préférez nettement :
« J’ai relevé les yeux vers lui et je lui ai demandé :
— Qu’est-ce que c’est ? »
ou
« Je relève les yeux vers lui et je lui demande :
— Qu’est-ce que c’est ? »

Avec ai-je on a une inversion du sujet pronom.
J’ai dit  > ai-je dit
il a dit > a-t-il dit
Nous  avons dit  > avons nous dit

On inverse le sujet pronom dans les incises, comme c’est le cas ici, ou dans les phrases de forme interrogative. 
Qu’ai-je donc à ne pas tenir en place aujourd’hui ?
Qu’a-t-il donc fait pour avoir été ainsi puni ?
etc.

Merci à tous pour vos réponses et vos conseils très pertinents.

Bruno974, je suis pleinement d’accord avec les deux points que vous soulevez. Malheureusement, la relectrice sur ce travail a pris des libertés avec lesquelles j’étais tout sauf d’accord, m’obligeant à faire une relecture après elle afin de corriger les coquilles qu’elle avait laissées. Des relectures que je ne fais justement jamais, car je sais que j’ai parfois des soucis avec des accords et que je suis plus rassurée quand quelqu’un repasse derrière moi. A tort, manifestement. J’ai eu beau signaler le problème à l’auteure, elle n’a semble-t-il pas jugé opportun de de changer de relectrice. Je ne peux malheureusement pas l’y forcer.

Cela mis à part, je n’aime pas beaucoup les incises non plus, et j’essaie autant que possible de les éviter, mais je n’ai pas toujours le choix. En effet, l’auteure fait parfois s’exprimer plusieurs personnages en même temps, et essayer de ne pas utiliser d’incise rendait le texte soit incompréhensible, soit plus lourd encore qu’avec les incises. J’ai donc essayé de ne les utiliser qu’en cas de nécessité.